Ztxz16学图论

最新推荐文章于 2024-03-09 12:22:24 发布

Drin_E

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分类专栏： LCT 莫队算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Drin_E/article/details/52421545

Ztxz16面临一道由算法之神Zjr506给出的图论题，涉及在N个点M条无向边的图中，处理Q个询问，每个询问涉及L到R的边，要求求解连通块数量。本文介绍了两种解决方案：一是使用LCT（线性链状组合树）维护最大生成树，二是应用莫队算法处理添边和删边操作。两种方法的时间复杂度分别为O(n log n)和O(n√n)。

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题目描述

众所周知，Zjr506是算法之神，因此Ztxz16经常向他请教算法。这一天，Zjr506在教导了Ztxz16关于图论方面的一些算法后，给他出了一道图论题作为家庭作业：
给定N个点，M条无向边，Q个询问，每个询问给定L, R，问连上第L~R条边后，图中有多少联通块（询问之间互不影响）。
Ztxz16智商太低，百思不得其解，只好向你请教这个问题。

数据范围

N, M, Q <= 200000, L <= R

LCT

把编号为i的边的权值赋值为i。
我们把要连的边连上后做一遍最大生成树可以得到一个森林，答案就是树的个数。
假设当前要新添加一条边i，边i连接的点为x和y，如果x和y不在同一棵树里，那么直接连边，若在同一棵树里，我们可以找到x到y的路径中权值最小的边把它删去后再连边，这个可以用lct来维护。
那么我们可以处理出ans数组，ans[i]表述1~i的边都添加后的答案。
同时我们还要维护n棵主席树为权值线段树，一条边若对ans[i]有贡献，则在第i棵主席树的值为1。
那么对于一个询问l和r，则答案为ans[r]+第r棵主席树在区间1~l-1的权值和。
复杂度O(n log n)
(有点麻烦啊，至少3Kb)

莫队

如果只有添边，是很容易做的，朴素的莫队。
然而有删边的操作，那我们可以考虑每次把l指针还原到l所在块的块末，那么下次只会有添加操作(r指针本身就是递增的了)。l到一个新的块的时候再重构一下。
还原并查集要打标记(具体见代码)
复杂度O(n√n)（时限开了3秒，而且实际跑的跟lct差不多，因为lct常数大）
(没那么麻烦，不到2Kb)