[Jzoj] 3491. 做梦

最新推荐文章于 2025-06-11 23:29:39 发布

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题目描述

在梦中 $z t x z 16$ 结婚生子了，他不得不照顾小宝宝。但这实在太无聊了，于是 $z t x z 16$ 会在散步。梦中 $z t x z 16$ 住在一个类似数轴的街上，数轴上的每个整点是一个街区，每个单位时间内 $z t x z 16$ 可以选择向左走一个街区或者向右走一个街区，但如果他离开家超过 $M$ 个单位时间小宝宝会有危险，因此 $z t x z 16$ 必须在距离上次在家中不超过 $M$ 个单位时间内回到家中。

$N$ 个单位时间后 $z t x z 16$ 会醒来，他希望此时正好在家中。

$z t x z 16$ 想知道散步过程可能有多少种不同的散步过程。两个散步过程被认为不同，当且仅当存在至少一个单位时刻 $z t x z 16$ 选择的走向不同。

题目解析

$D P$ ，设 $f [i]$ 为当在第 $i$ 时刻回到家的方案数， $a [i]$ 为在第 $i$ 时刻回到家的方案数且期间没回过家。所以 $f[i]=∑i=1mf[i−j]×a[j]f[i]=\sum_{i=1}^m f[i-j]\times a[j]$ 。

我们可以用矩阵乘法优化时间。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 105
#define M 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m;
ll a[N][N],tmp[N][N],ans[N][N],k[N][N];
void mul(ll a[N][N],ll b[N][N])
{
	memset(tmp,0,sizeof(tmp));
	for(int i=1;i<=m+1;i++)
	 for(int j=1;j<=m+1;j++)
	  for(int k=1;k<=m+1;k++)
	   tmp[i][j]=(tmp[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%M;
	memcpy(a,tmp,sizeof(tmp));
}
void qpow(int t)
{
	while(t)
	{
	  if(t&1) mul(ans,a);
	  mul(a,a);
	  t>>=1;
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	a[1][1]=1;
	for(int i=1;i<m;i++)
	 for(int j=1;j<=m/2;j++)
	 {
	   (a[i+1][j+1]+=a[i][j])%=M;
	   (a[i+1][j-1]+=a[i][j])%=M;
	 }
	for(int i=1;i<=m/2-1;i++)
	 k[i+1][i]=1;
	for(int i=1;i<=m/2;i++)
	 ans[i][i]=1,k[1][i]=2*a[i*2][0]%M;
	n/=2;
	while(n)
	{
	  if(n&1) mul(ans,k);
	  mul(k,k);
	  n>>=1;
	}
	cout<<ans[1][1];
}