（bzoj 3884 上帝与集合的正确用法）<欧拉定理>

最新推荐文章于 2021-05-15 10:25:32 发布

SDFZspli

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分类专栏：数论

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本文介绍了一道关于数学计算的题目，上帝按照特定规则每天创造新的元素，最终需要计算出最后一次创造的元素“θ”的种类数量，并对一个大数p取模。文章提供了完整的C++代码实现，涉及欧拉函数及快速幂算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

Time Limit: 5 Sec
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Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。
一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

Sample Output

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

先发代码，再补题解

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

int T,p;

int euler(int x){
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0){
            ans/=i;
            ans*=i-1;
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    if(x^1) ans/=x,ans*=x-1;
    return ans;
}

LL Pow(LL a,LL n,LL t){
    LL ans=1;
    while(n){
        if(n&1) ans=ans*a%t;
        a=a*a%t;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

LL solve(int x){
    LL ans;
    if(x==1) ans=0;
    else{
        int c=euler(x);
        ans=Pow(2,solve(c)+c,x);
    }
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&p);
        printf("%lld\n",solve(p));
    }
    return 0;
}