模意义下求乘法逆元的各种姿势

乘法逆元

定义

若$ax\equiv1 \mod p$,则称$x$是$a$在$\mod p$意义下的逆元，记为$x\equiv a^{-1}\mod p$

当然，$a$也是$x$在$\mod p$意义下的逆元

$\frac{a}{b}=a\cdot b^{-1}$

几乎所有模意义下的除法都需要逆元

有逆元的充要条件

$a$在$\mod p$意义下有逆元的充要条件：$(a,p) =1$

逆元的求法

EXGCD

若求$a$在$\mod p$意义下的逆元，则可以转化为求解如下方程

$$ax+py=1$$
有EXGCD的相关知识可以得到，当且仅当$(a,p)=1$时有解（有逆元的充要条件的证明）

费马小定理

如果$p$为质数，则$a^{p-1}\equiv 1\mod p$

$\therefore a\cdot a^{p-2}\equiv 1$

$\therefore a^{p-2}\equiv a^{-1}$

欧拉定理

将费马小定理中的$p-2$换为$\varphi(p)-1$即可

$p$可以不是质数

递推

用于$O(n)$预处理$[1 \cdots n]$的逆元

构造$p=ki+r$

$\therefore ki+r\equiv 0 \mod p$

$\therefore ki=-r$

$\therefore i^{-1}=-k\cdot r^{-1}$

其中$k=\lfloor \frac{p}{i}\rfloor ,r=p\%i$

$\therefore i^{-1}=-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \cdot inv[p\%i]$

为了防止出现负数，通常的写法是这样的

inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;