莫比乌斯反演与其前置技能

质数·积性函数·筛法

质数

$\\$

定义

大于 1 的、只被 1 和它本身整除的正整数

$\\$

唯一分解定理

对于正整数 n，我们一定可以将其写为若干个质数的幂的乘积形式

即

$$n=\prod p_i^{a_i}$$
其中$p_i$是质数

同时该分解是唯一的

$\\$

积性函数

$\\$

数论函数

若有函数$f(n)$ 的定义域为正整数，值域为复数，称为数论函数

$\\$

积性函数

若数论函数$f(n)$满足：对于互质的$p、q$，有 $f(p \cdot q) = f(p) \cdot f(q)$称为积性函数

进一步地，若数论函数 $f(n)$ 满足：对于任意 $p、q$，有 $f(p\cdot q) = f(p) \cdot f(q)$称为完全积性函数

积性函数$f(1)=1$

积性函数的乘积也是积性函数

常见的积性函数

除数函数$\sigma_k(n)$，表示n的约数的k次幂和

约数和函数$\sigma_1(n)$，或$\sigma(n)$

约数个数函数$τ(n)$,一般也写为$d(n)$

欧拉函数$\varphi(n)$

莫比乌斯函数$\mu(n)$

元函数$e$,这是一个由命题映射到N的特殊函数，e[P]=1当且仅当P为真，否则e[P]=0

狄利克雷卷积单位函数$\varepsilon(n)=n==1?1:0$

常函数$1(n)=1$

单位函数$id(n)=n$

加粗为完全积性函数

$\\$

欧拉函数

若

$$n=\prod p_i^{a_i}$$
则
$$\varphi(n)=n\cdot\prod(1-\frac{1}{p_i})$$
两个重要的结论

• $\sum _{d|n}\varphi(d)=n$
  
  • 在$[1,n]$中，满足$gcd(x,n)=\frac{n}{d}$的$x$有$\varphi(d)$个
• $\sum _{(d,n)=1}d=\frac{n\cdot \varphi(n)}{2}$
  
  • 除$\varphi(1)$，欧拉函数都是偶数
  • 若$(x,n)=1$，那么$(n-x,n)=1$

$\\$

莫比乌斯函数

$$\mu(n)=\left \{\begin{matrix} 0,n有平方因子\\ (-1)^{k},n=\prod _{i=1} ^k p_i \end{matrix}\right.$$

重要结论

$\sum _{d|n}\mu(d)=\varepsilon(n)$

证明：

• n=1，显然成立

• n>1

• 首先不需要考虑含有平方因子的d

• 也就是说，如果$n=\prod p_i^{d_i}$，那么相当于$n=\prod p_i$
• $\sum _{d|n}\mu(d)=(-1)\sum _{i=1\&i\%2=1}^kC_n^{i}+1\sum _{i=0\&i\%2=0}^kC_n^i=0$
• 当n>1时，$\varepsilon(n)=0$

Dirichlet卷积

简单来说，就是一种运算

$$h(n)=\sum _{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})$$
$h(n)$即为f，g两个函数狄利克雷卷积后得到的新函数

性质

1.积性函数的狄利克雷卷积仍然满足积性

2.完全积性函数的狄利克雷卷积不一定满足完全积性

3.Dirichlet 卷积同时也具有交换律、分配律

4.Dirichlet 卷积运算存在单位元：$f \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot f = f$

​ $h(n)=\sum _{d|n} f(d)\varepsilon(\frac{n}{d})=f(n)$

筛法

筛法的重点不是筛什么，而是筛的顺序

比如埃氏筛和线性筛虽然大部分情况用于筛素数

但是其思想可以被运用到更广的领域

一些题会需要你在可以接受的复杂度内筛出需要的函数

这就需要筛法的思想

埃拉托斯特尼筛

筛素数

for(int i=2;i<=e;++i)
    if(!vis[i])
         for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
             vis[j]=1;

复杂度$O(nloglogn)$

以下证明其复杂度不超过$O(nln(n))$

$\sum _{i=1} ^n \frac{n}{i}=n\sum _{i=1} ^n \frac{1}{i}$

$Hn=\sum _{i=1} \frac{1}{i}$

$Hn \sim ln(n)$

$\therefore \sum _{i=1}^n \frac{n}{i} \leq nln(n)$

形如埃氏筛的循环方式的复杂度$O(nln(n))$

筛欧拉函数

void euler(){
    for(int i=1;i<=n;++i) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;++i)
        if(phi[i]==i)
            for(int j=i;j<=n;j+=i) //必须从i开始
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

与筛素数的区别在于，一个数只要被标记一次即可认定它不是素数

而欧拉函数的计算必须考虑n的所有质因子的贡献

线性筛

一种复杂度$O(n)$，基于积性函数的筛法

用处非常多，需要在理解的基础上记忆代码

筛素数

for(int i=2;i<=n;++i){
      if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
      for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
          vis[i*p[j]]=1;
          if(i%p[j]==0) break;
    }
}

所以为什么是$O(n)$的？

每个数只会被其最小的质因子筛掉

break的原因：如果此时已经有i%p[j]==0，那么p[j+1],p[j+2]…就不可能再是i*p[j+1],i *p[j+2]的最小质因子

筛欧拉函数

phi[1]=1;
for(int i=2;i<=N;++i){
    if(!vis[i]){
        pri[++tot]=i;
        phi[i]=i-1;
    }
    for(int j=1;j<=tot&&1ll*i*pri[j]<=N;++j){
        vis[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0){
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
            break;
        }
        phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
    }
}

phi,pri不要手残打反QWQ

解释一下第九行

此时的$pri[j]$一定是$i\cdot pri[j]$的最小质因子

$\varphi(i) = n\cdot \prod (1-\frac{1}{p_j})$

$1-\frac{1}{pri[j]}$已经计算过

$\therefore \varphi(i\cdot phi[j])=phi[j]\cdot \varphi(i)$

筛莫比乌斯函数

mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;++i){
    if(!vis[i]){
        pri[++tot]=i;
        mu[i]=-1;
    }
    for(int j=1;j<=tot&&1ll*i*pri[j]<=N;++j){
        vis[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0){
            mu[i*pri[j]]=0;
            break;
        }
        mu[i*pri[j]]=-mu[i];
    }
}

基本上来说，线性筛积性函数只需要关注三个地方

质数怎么办，枚举到最小质因子怎么办，互质怎么办

$\\$

莫比乌斯反演

还记得$\sum _{d|n} \mu(d)=\varepsilon (n)$吗

另外，$f\cdot \varepsilon=f$

$\cdot$表示狄利克雷卷积（未必准确）

利用这些结论，如何证明：

$$g(m)=\sum _{d|m} f(d) \Leftrightarrow f(m)=\sum _{d|m} g(d) \mu(\frac{m}{d})$$

• 若已知$g(m)=\sum _{d|m} f(d)$，如何推出$f(m)=\sum _{d|m} g(d) \mu(\frac{m}{d})$

  • $$\sum _{d|m} g(d)\mu(\frac{m}{d})\\=\sum _{d|m} \mu(d)g(\frac{m}{d})\\= \sum _{d|m} \mu(d) \sum _{d'|(m/d)} f(d')\\= \sum _{d'|m} f(d') \sum _{d|(m/d')} \mu(d)\\= \sum _{d'|m} f(d')\cdot e[m/d'=1]\\= f(m)$$

• 若已知$f(m)=\sum _{d|m} g(d) \mu(\frac{m}{d})$,如何推出$g(m)=\sum _{d|m} f(d)$

  ​
  

  $$\sum _{d|m} f(d)\\= \sum _{d|m} \sum _{d'|d} g(d') \mu(\frac{d}{d'})\\= \sum _{d'|m} g(d') \sum _{d|(m/d')} \mu(d)\\= \sum _{d'|m} g(d') \cdot e[m/d'=1]\\= g(m)$$

以上便是莫比乌斯反演定理

即

$$f\cdot 1=g \Leftrightarrow f=g\cdot \mu$$
当然，利用$\mu \cdot 1=\epsilon$可以简单的推导：

$若 f\cdot 1=g$

$\therefore f\cdot 1 \cdot \mu=g\cdot \mu$

$\therefore f=g\cdot \mu$

$若 g\cdot \mu =f$

$\therefore g\cdot \mu \cdot 1 =f\cdot 1$

$\therefore f\cdot 1=g$

比如现在有$\sum _{d|n} \varphi(d)=n$

可以表示成$\sum _{d|n} \varphi(d)\cdot 1(n/d) =id(n)$

可以得出$\varphi(n)=\sum _{d|n} \mu(d) id (\frac{n}{d})$

另一个角度理解这个式子

尝试理解其实际含义，就像理解组合恒等式的实际意义

$\varphi(12)=12\varphi(1)+6\varphi(2)+4\varphi(3)+3\varphi(4)+2\varphi(6)+1\varphi(12)$

​ $=12-6-4+0+2+0=4$

对于一个数$m=\prod_{i=1}^k p_i$

其中$\forall p_i$是n的质因子

m对$\varphi(n)$的贡献为：

$-C_k^1+C_k^2-C_k^3\cdots=-C_k^0=-1$

而这个数确实不是与n互质的数

莫比乌斯函数是与容斥原理有关的

有些题目同时可以从反演和容斥两个角度思考