（CDOJ 844 线段树区间最大连续和 ）<线段树的各种姿势>

Problem

给定一个序列，每个点有相应权值
有两种操作：
①修改某个点的权值
②查询给定区间的最大连续区间和

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Solution

• 首先要理解清楚题意，是在给定区间内求最大连续子序列。所以暴力的方法很简单，每次在给定区间上贪心地求即可。复杂度$O(m*n)$
• 优化一点可以用线段树
• 线段树上维护4个值：区间总和s，从左端起的最大连续区间和ls，从右端起的最大连续区间和rs，整个区间最终的最大连续区间和ms。
• pushup操作

ⅰ ls的修改

可以更新为左子树的ls，或者左子树的s+右子树的ls，分别对应第一条红线和第二条红线

ⅱ rs的修改
同ls的更新一样，可以更新为右子树的rs，或者右子树的s+左子树的ls
目的是保证从端点开始

ⅲ ms的修改
正常的情况是更新为左右子树的max(ms)，但是有一种特殊情况：
左子树的rs和右子树的ls是连续的，因此有可能左子树的rs+右子树的ls的值更大
所以一共三种情况

ⅳ s的修改
很简单，把左右子树的s加起来即可
一般来说求最值不需要记录区间和，但这个问题涉及到区间的交并，s可以用于解决完全包含某个子区间的问题（如ls，rs的修改时）

• query是这个题最难的部分
  ⅰ 同样要维护4个全局变量：区间最大连续子序列anss（即最终答案），从左端点开始的最大连续子序列ansl，从右端点开始的最大连续子序列ansr，已经更新过的区间和sum（同样需要区间和来帮助询问答案）
  ⅱ 线段树一个很重要的性质是：每次更新或者询问一定是先处理左子树，后处理右子树，因此sum维护的是从询问区间最左端到当前区间的区间和，利用sum可以很巧妙的维护其它3个的值
  ⅲ 具体实现的方法

    if(ll<=L&&rr>=R){
        ansl=max(ansl,sum+t[pos].ls);//不更新，或者更新为：左面所有的值的和sum+当前区间的ls，利用线段树更新的顺序是先左后右，可以确保ansl维护的值是从最左端开始的
        anss=max(ansl,anss);
        anss=max(anss,t[pos].ms);
        anss=max(anss,ansr+t[pos].ls);
        ansr=max(ansr+t[pos].s,t[pos].rs);//同样利用sum的性质更新
        anss=max(ansr,anss);
        sum+=t[pos].s;
        return;
    }

ⅳ 最后需要注意的是，ansr的更新必须放在anss之后，因为如果先更新ansr，那么ansr的值有可能会包含当前区间的值，这样会造成重复

Code

// by spli
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

const int N=500010;
const LL inf=100000000ll;
int n,m;
struct seg{
    int L,R;
    LL s,ms,ls,rs;
}t[N*4+5];
LL ansl=-inf,ansr=-inf,anss=-inf,sum=0;

void pushup(int pos){
    t[pos].s=t[pos<<1].s+t[pos<<1|1].s;
    t[pos].ms=max(t[pos<<1].ms,max(t[pos<<1|1].ms,t[pos<<1].rs+t[pos<<1|1].ls));
    t[pos].ls=max(t[pos<<1].ls,t[pos<<1].s+t[pos<<1|1].ls);
    t[pos].rs=max(t[pos<<1|1].rs,t[pos<<1|1].s+t[pos<<1].rs);
}

void build(int pos,int L,int R){
    t[pos].L=L;
    t[pos].R=R;
    if(L==R){
        scanf("%lld",&t[pos].s);
        t[pos].ms=t[pos].ls=t[pos].rs=t[pos].s;
        return;
    }
    int mid=(L+R)>>1;
    build(pos<<1,L,mid);
    build(pos<<1|1,mid+1,R);
    pushup(pos);
}

void update(int pos,int k,int v){
    int L=t[pos].L;
    int R=t[pos].R;
    if(L==R){
        t[pos]=(seg){L,R,v,v,v,v};
        return;
    }
    int mid=(L+R)>>1;
    if(k<=mid) update(pos<<1,k,v);
    else update(pos<<1|1,k,v);
    pushup(pos);
}

void query(int pos,int ll,int rr){
    int L=t[pos].L;
    int R=t[pos].R;
    if(ll>R||L>rr) return;
    if(ll<=L&&rr>=R){
        ansl=max(ansl,sum+t[pos].ls);
        anss=max(ansl,anss);
        anss=max(anss,t[pos].ms);
        anss=max(anss,ansr+t[pos].ls);
        ansr=max(ansr+t[pos].s,t[pos].rs);
        anss=max(ansr,anss);
        sum+=t[pos].s;
        return;
    }
    int mid=(L+R)>>1;
    query(pos<<1,ll,rr);
    query(pos<<1|1,ll,rr);
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    build(1,1,n);
    int k,x,y;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
        if(k==1){
            anss=ansl=ansr=-inf;sum=0;
            query(1,x,y);
            printf("%lld\n",anss);
        }
        if(k==2) update(1,x,y);
    }
    return 0;
}