【BZOJ3884】上帝与集合的正确用法

最新推荐文章于 2021-05-15 10:25:32 发布

CreationAugust

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分类专栏：随便搞搞文章标签：数论欧拉定理

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本文深入解析上帝创世过程中元素增长的速度，通过数学计算揭示最终元素的数量，并探讨这一天文数字背后的意义。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。
一句话题意：
这里写图片描述

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值
Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值
Sample Input

6
Sample Output

4
HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Source

By PoPoQQQ

跪一发一眼秒了这题的TA大爷!
把p分解成 $2^k*p'$
可以发现这样做出来的p’和2互质
然后欧拉定理求解
递归做.
为什么求phi用 $O(\sqrt n)$ 的求法比线筛快那么多这不科学…

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAXN 10000100
#define LL long long
using namespace std;
int T,p;
bool not_prime[MAXN];
int prime[MAXN],top;
int phi[MAXN]={0,1};
void check_prime()
{
    for (int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if (!not_prime[i])  prime[++top]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=top&&prime[j]*i<MAXN;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int Pow(LL x,int n,int _p)
{
    LL ret=1;
    while (n)
    {
        if (n&1)    ret=ret*x%_p;
        x=x*x%_p;n>>=1;
    }
    return (ret+_p)%_p;
}
int Get(int P)
{
    if (P==1)   return 0;
    int K=0,ret=1;
    while (!(P&1))  P>>=1,K++;
    ret=Get(phi[P]);
    ret=(ret+phi[P]-K%phi[P])%phi[P];
    ret=Pow(2,ret,P);ret<<=K;
    return ret;
}
int main()
{
    check_prime();
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&p);
        if (p==1)
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        printf("%d\n",Get(p));
    }
}