费用流与对偶图

费用流

那是啥？
常见费用流为最小费用最大流。第一关键字为最大流，次大关键字为最小费用。就是说 每条边有他自己的花费，你尽可能的选择便宜的边流。
怎么做呢？
1.找一条单位花费综合最少的路（最短路）
2.找到其中流量最小的边f
3.流完这些f的量 相应更新数值
4.若仍s-t联通 重复上述
正确性证明：与dinic相似，最大流得到了保证，另外，每次的花费保证当前是最小的，可以通过脑补证明该贪心正确。
代码暂时不呈现（主要是因为出了玄学错误 linux和windows运行结果不同）

对偶图

这个东西主要是解决网格图跑最大流的TLE问题的，此处有个证明：对偶图最短路==平面图最大流
证明如下：对偶图的路径=平面图的割 则对偶图的最短路就是平面图的最小割 那么应用最大流最小割定理 得证。
Q:那么对偶图怎么建立？
A:YY！
因为对偶图在OI的应用主要是网格图，所以比较规则，自行YY即可，看一道例题：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1001
著名的BZOJ1001
那么我们可以这个样子YY一下，网格图的对偶图必然是在框内的，那么我们框内的数字一定要有序,然后我们可以YY这样一个情况

代码是这样的

emm=(m-1)*(n-1);s=0,t=(m-1)*(n-1)*2+1;
    so(i,1,n*(m-1),1) 
    {
        scanf("%d",&x);
        //u=min(t,i);//v=max(s,i-m+1);
        if(i>emm) u=t;
        else u=i;
        if(i-m+1>0) v=i-m+1+emm;
        else v=0;
        link(u,v,x),link(v,u,x);
    }
    so(i,1,n-1,1) so(j,0,m-1,1)
    {
        scanf("%d",&x);
        if(!j) u=t;
        else u=(i-1)*(m-1)+j; 
        if(j==m-1) v=s;
        else v=(i-1)*(m-1)+j+1+emm;
        link(u,v,x);link(v,u,x);
    }
    so(i,1,emm,1)
    {
        scanf("%d",&x);
        link(i,i+emm,x);link(i+emm,i,x);
    }

很美丽，那么有个问题 s为啥不用0？如果您是vector选手，没关系，但如果您使用邻接表！当h[0]=0的时候便会死循！一定要切记。
然后我们开开心心写个SPFA就好啦~
然后：

为啥呢？SPFA在如此稠密的图中 复杂度退化为$O(n^2)$（因为边数比网格图还多！！）
唉，谁让我校不擅长堆优化dij呢？那我写个双端队列优化试试？

MLE??这是个啥。。。我写挂了？
所以啊——学dij学dij学dij！