费用流与对偶图

最新推荐文章于 2023-03-08 00:16:04 发布

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本文介绍了费用流的概念，重点讲解了最小费用最大流的求解思路，包括通过寻找最短路和更新边的流量来确保最大流和最小费用的平衡。同时，讨论了对偶图在解决网格图最大流TLE问题中的应用，证明了对偶图最短路与平面图最大流的关系，并给出了建立对偶图的示例。最后，探讨了在实现过程中需要注意的细节，如避免死循环和优化SPFA算法。

费用流

那是啥？
常见费用流为最小费用最大流。第一关键字为最大流，次大关键字为最小费用。就是说每条边有他自己的花费，你尽可能的选择便宜的边流。
怎么做呢？
1.找一条单位花费综合最少的路（最短路）
2.找到其中流量最小的边f
3.流完这些f的量相应更新数值
4.若仍s-t联通重复上述
正确性证明：与dinic相似，最大流得到了保证，另外，每次的花费保证当前是最小的，可以通过脑补证明该贪心正确。
代码暂时不呈现（主要是因为出了玄学错误 linux和windows运行结果不同）

对偶图

这个东西主要是解决网格图跑最大流的TLE问题的，此处有个证明：对偶图最短路==平面图最大流
证明如下：对偶图的路径=平面图的割则对偶图的最短路就是平面图的最小割那么应用最大流最小割定理得证。
Q:那么对偶图怎么建立？
A:YY！
因为对偶图在OI的应用主要是网格图，所以比较规则，自行YY即可，看一道例题：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1001
著名的BZOJ1001
那么我们可以这个样子YY一下，网格图的对偶图必然是在框内的，那么我们框内的数字一定要有序,然后我们可以YY这样一个情况
这里写图片描述
代码是这样的

emm=(m-1)*(n-1);s=0,t=(m-1)*(n-1)*2+1;
    so(i,1,n*(m-1),1) 
    {
        scanf("%d",&x);
        //u=min(t,i);//v=max(s,i-m+1);
        if(i>emm) u=t;
        else u=i;
        if(i-m+1>0) v=i-m+1+emm;
        else v=0;
        link(u,v,x),link(v,u,x);
    }
    so(i,1,n-1,1) so(j,0,m-1,1)
    {
        scanf("%d",&x);
        if(!j) u=t;
        else u=(i-1)*(m-1)+j; 
        if(j==m-1) v=s;
        else v=(i-1)*(m-1)+j+1+emm;
        link(u,v,x);link(v,u,x);
    }
    so(i,1,emm,1)
    {
        scanf("%d",&x);
        link(i,i+emm,x);link(i+emm,i,x);
    }