计算几何与计算几何与....

博主这里曾经学过计算几何（下文简称jj），所以没有证明或者说明某些算法，不适合初学者食用

辛普森积分Simpson~

用一道例题及黄学长的代码来理解：

黄学长代码~

#include<map>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define eps 1e-8
#define pa pair<int,int>
#define ll long long
#define inf 1000000000
using namespace std;
struct P{
    double x, y;
    P(){}
    P(double _x, double _y):x(_x), y(_y){}
    friend P operator-(P a, P b){
        return P(a.x - b.x, a.y - b.y);
    }
    friend double operator*(P a, P b){
        return a.x * b.y - a.y * b.x;
    }
}p[105];
struct L{
    P a, b;
}l[105];
vector<double> ve;
int n;
double R;
void add(double X, L l)
{
    if(l.a.x < X - eps && l.b.x < X - eps)return;
    if(l.a.x > X + eps && l.b.x > X + eps)return;
    if(fabs(X - l.a.x) < eps && fabs(X - l.b.x) < eps)return;
    double t;
    if(fabs(l.b.x - X) < eps)t = l.b.y;
    else t = (X - l.a.x) / (l.b.x - X);    
    ve.push_back(l.a.y + (l.b.y - l.a.y) * t / (t + 1));
}
double F(double X)
{
    if(abs(X) > R)return 0;
    ve.clear();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        add(X, l[i]);
    double U = sqrt(R * R - X * X), ANS = 0;
    sort(ve.begin(), ve.end());
    bool flag = 0;
    for(int i = 0; i < (int)ve.size() - 1; i++)
    {
        flag ^= 1;
        if(ve[i] > U)break;
        if(flag)
            ANS += min(ve[i + 1], U) - ve[i];
    }
    return ANS;
}
double cal(double fl, double fm, double fr, double L)
{
    return (fl + fm * 4 + fr) * L / 6;
}
double simpson(double l, double r, double fl, double fm, double fr, double S, int dep)
{
    double mid = (l + r) / 2;
    double m1 = (l + mid) / 2, m2 = (r + mid) / 2;
    double f1 = F(m1), f2 = F(m2);
    double g1 = cal(fl, f1, fm, mid - l), g2 = cal(fm, f2, fr, r - mid);
    if(fabs(g1 + g2 - S) < 1e-12 && dep >= 10)return g1 + g2;
    return simpson(l, mid, fl, f1, fm, g1, dep + 1) + simpson(mid, r, fm, f2, fr, g2, dep + 1);    
}
double solve(double l, double r)
{
    if(l > r)return 0;
    double mid = (l + r) / 2;
    return simpson(l, r, 0, F(mid), 0, (F(l) + F(r) + F(mid) * 4) * (r - l) / 6, 0);
}
int main()
{
    scanf("%d%lf", &n, &R);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
    p[n + 1] = p[1];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        l[i].a = p[i], l[i].b = p[i + 1];
    double ANS = solve(-R, -2) + solve(-2, 1) + solve(1, R);
    printf("%.10lf\n", ANS);
    return 0;
}

也就是说这道题只需要积分求面积就好了，那么为什么这个F函数这么可怕（难以理解）呢？
因为题目说多边形 所以啊，他有可能长这个样：

我们再想想我们的积分的本质——把每个x对应的$f(x)$求和 即 $\sum_{x=1}^{n}f(x)$ 当然我只是这么表示一下方便脑补。也就是说对应到图像上我们要求的是图像内每条竖线的长度的和，举个栗子吧：

假设我们要求$f(X)$即粉线处的函数值，那么我们只需要求$L_{红线}+L_{绿线}+L{黄线}$
这也是黄学长代码的意图，我分步剖析一下：
先说ve数组，这里面存的是x=X与多边形的交点
然后说add：我们枚举每条线段，看是否有交点，及在何处

void add(double X, L l)
{
    if(l.a.x < X - eps && l.b.x < X - eps)return;
    if(l.a.x > X + eps && l.b.x > X + eps)return;
    if(fabs(X - l.a.x) < eps && fabs(X - l.b.x) < eps)return;
    double t;
    if(fabs(l.b.x - X) < eps)t = l.b.y;
    else t = (X - l.a.x) / (l.b.x - X);    
    ve.push_back(l.a.y + (l.b.y - l.a.y) * t / (t + 1));
}

上方的三个return 分别对应 ：该线段在X左边，X右边，垂直x轴。这就比较好理解了，因为这三种状况不可以贡献面积（第三种可以用直线的面积为0解释）
然后就是这个点坐标，看图解释吧

假设我们要求R的纵坐标 即绿色长度，我们设为$L_G$，代码中l.a.x,l.a.y,l.a.x,l.b.y与图中$x_1,y_1,x_2,y_2$一一对应；
然后我们做辅助线（米黄色），我们发现上方是两个相似三角形！所以我们利用x的比值来确定$L_G-L_R$，代码中pickline两侧的米黄线比值为t 那么$L_G-L_R$=$(y_2-Y_1)*\frac{t}{t+1}$这个不理解的话自己玩两组数据就好了。

扫描线

继续拿题举例子
BZOJ 1845 [Cqoi2005] 三角形面积并
题目大意：给定n个三角形，求面积并 n<=100
怎么做呢？
1.simpson积分，与第一个例题相似，我们可以求交点，然后求f（x）做（比上一个例题还好理解一点）。
2.扫描线
看图233

我们对每两条线段的交点打标记，然后过标记点做扫描线。
我们看 第一条扫描线与第二条之间只需要 求一个三角形，而第二三条之间是一个三角加一个梯形，那我们就可以用梯形公式求积啦~

$$S=\frac{1}{2}\sum_i{（上底i+下底i）*h}$$
$$=\frac{h}{2}\sum_i(上底+下底)$$
我们只需要特判一下平行x轴的边，因为它有可能无贡献（留个读者考虑）
或者用中位线考虑（比较繁琐）

旋转卡壳

首先说一下读音（毕竟有$2^4$种读法），xuan zhuan qia ke （音调：2 3 3 2
http://blog.youkuaiyun.com/wang_heng199/article/details/74477738
这篇博客讲的真的好，不用我xbb了~
UPD:抱歉我没看到该文章是转载的，原文地址404 not found了