网络流专题——基本模型与技巧

该博客整理网络流的常见模型，不建议初学者食用
感谢：本文例题即部分解释来自THU 胡泽聪授课pdf

流量表示变迁

eg1

给定一张的无向图，每条边有长度。点i处有ai头牛，以及一个能容纳bi头
牛的牛棚。牛可以沿边移动，每条边上可以同时有任意头牛经过。一头牛经过
一条边所需时间即为道路长度。
给出一个将牛分配到牛棚的方案，并最小化所需移动时间T。
hint：我们发现这是一个最小值问题，但是不好求，于是我们考率二分答案，显然这是单调的；二分后变成判定性问题；
那么如何解决该判定性问题？网络流！
我们将所有点拆为a与b S连a流量为$a_i$，b连T流量为$b_i$，ab间流量为无穷。当当前的二分值为mid时，我们将满足最短路<=mid的两点i,j之间连边$a_i->b_j$ $b_i->a_j$流量为无穷，当最大流=$\sum_{i=1}^{n}a_i$时便成立。不拆点会错，为啥？因为我们的连边原则是dis<=mid 但如果直接连到点j而j与k距离是mid 那i与k距离便>mid 所以会出错。
eg2

有m个猪圈，每个猪圈里初始时有若干头猪。一开始所有猪圈都是关闭的。
依次来了n个顾客，每个顾客分别会打开指定的几个猪圈，从中买若干头
猪。
每个顾客分别都有他能够买的数量的上限。
每个顾客走后，他打开的那些猪圈中的猪，都可以被任意地调换到其它开
着的猪圈里，然后所有猪圈重新关上。
问最多总共能卖出多少头猪。
1 ≤ m ≤ 1000、1 ≤ n ≤ 100。
hint：
分开考虑每个猪圈。考虑能对其产生影响的若干顾客。
只有这些顾客才能买，也只有他们才能移动猪圈里的猪。
那么从源向每个猪圈的第一个顾客连边，容量为初始的数量。
每个猪圈的第i个顾客向第i + 1个顾客连边，容量为无穷大。
顾客向T连边 流量为购买能力（正确性交给读者思考）
eg3

有a种食物和b种饮料，每种食物或饮料只能供一头牛享用，且每头牛只享
用一种食物和一种饮料。
现在有n头牛，每头牛都有自己喜欢的食物种类列表和饮料种类列表。
问最多能使几头牛同时享用到自己喜欢的食物和饮料。
hint：
有些同学会想到二分图匹配于是这样的图便有了

那么就