【数学 函数空间】拉普拉斯变换解微分方程步骤

拉普拉斯变换解微分方程

• 拉普拉斯变换解微分方程的一般步骤如下：
  • 写出微分方程。
  • 对微分方程两边应用拉普拉斯正变换。
  • 求解变换后的代数方程，得到 $Y(s)$。
  • 如果需要，进行部分分式分解。
  • 对 $Y(s)$进行拉普拉斯逆变换，得到 $y(t)$。
  • 考虑初始条件，得到完整的时域解。

1. 写出微分方程

• 假设有一个关于函数$y(t)$的微分方程：

$$\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)$$

其中，$f(t)$ 是已知的外部输入函数，( y(t) ) 是待求解的函数，( a_0, a_1, \dots, a_{n-1} ) 是常数。

2. 对微分方程两边应用拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的定义是：

L{ f(t)}=F(s)=∫0∞f(t)e−stdt \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt L{ f(t)}=F(s)=∫0∞​f(t)e−stdt

通过对微分方程两边应用拉普拉斯变换，将微分方程中的每一项都转换为代数方程中的相应项。利用拉普拉斯变换的常用公式：

• $$\mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}\right\}=s^{}$$