【数学 函数空间】格拉姆-施密特正交化&切比雪夫多项式推导

• 正交基和切比雪夫多项式是线性代数和数值分析中非常重要的概念。接下来，我将解释如何构造一组正交基，以及如何使用切比雪夫多项式来构造正交基。
  切比雪夫多项式有两类：第一类和第二类。以下为第一类切比雪夫多项式 $T_n(x)$的推导。

一、正交基的定义与构造

在向量空间 $V$ 中，如果一组向量 { v 1 , v 2 , . . . , v n } \{v_1, v_2, ..., v_n\} {v1​,v2​,...,vn​} 彼此正交且非零，那么它们就构成 $V$ 的一组正交基。若它们的范数均为 1，则称为标准正交基（即正交归一基）。

1. 通过格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化过程构造正交基

假设我们有一组线性无关的向量 { u 1 , u 2 , . . . , u n } \{u_1, u_2, ..., u_n\} {u1​,u2​,...,un​}，可以使用格拉姆-施密特方法将其变换为一组正交基 { v 1 , v 2 , . . . , v n } \{v_1, v_2, ..., v_n\} {v1​,v2​,...,vn​}。

步骤：

1. 定义 $v_1=u_1$。
2. 对于 $i>1$，计算：
   $$v_i=u_i-\sum _{j=1}^{i-1}\frac{⟨u_i,v_j⟩}{⟨v_j,v_j⟩}{v}_j$$
3. 归一化向量$v_i$ 以得到单位向量：
   $$e_i=\frac{v_i}{\Vert v_i\Vert }$$

这将生成一组正交基 { e 1 , e 2 , . . . , e n } \{e_1, e_2, ..., e_n\} {e1​,e2​,...,en​}。

二、格拉姆-施密特正交化得到切比雪夫多项式

• 可通过格拉姆-施密特正交化构造前两个（1，$x$）的正交基函数：

$$g_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2}},g_1(x)=\sqrt{\frac{3}{2}}x.$$

• 现在，我们将继续推导出第三个正交基函数 $g_2(x)$，从而构造出正交基的第三项。

• 我们希望从初始函数集 { 1 , x , x 2 } \{1, x, x^2\} {1,x,x2} 中构造出正交的第三个函数 $g_2(x)$，使得：
  $$⟨g_2,g_0⟩=0,⟨g_2,g_1⟩=0.$$

• 我们需要将 $f_2(x)=x^2$ 正交化，以得到 $g_2(x)$。

1. 从$f_2(x)$中减去其在 $g_0(x)$ 和 $g_1(x)$上的投影

我们需要从$f_2(x)$ 中减去它在前两个正交基 $g_0(x)$ 和 $g_1(x)$ 上的投影：
$$g_2(x)=f_2(x)-{\text{Proj}}_{g_0}(f_2)-{\text{Proj}}_{g_1}(f_2).$$

首先，我们计算投影部分。

2. 计算投影到 $g_0(x)$ 上的分量

$${\text{Proj}}_{g_0}(f_2)=⟨f_2,g_0⟩g_0.$$

内积 $⟨f_2,g_0⟩$ 计算如下：
$$⟨f_2,g_0⟩={\int }_{-1}^1{x}^2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx.$$

计算积分：
$${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{2}{3}.$$
因此，
$$⟨f_2,g_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$$
于是，
$${\text{Proj}}_{g_0}(f_2)=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{3}.$$

3. 计算投影到 $g_1(x)$ 上的分量

$${\text{Proj}}_{g_1}(f_2)=⟨f_2,g_1⟩g_1.$$

内积 $⟨f_2,g_1⟩$ 计算如下：
$$⟨f_2,g_1⟩={\int }_{-1}^1{x}^2\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}xdx=\sqrt{\frac{3}{2}}{\int }_{-1}^1{x}^{3}dx.$$

计算积分：
$${\int }_{-1}^1{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_{-1}^1=0.$$
因此，
$$⟨f_2,g_1⟩=\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot 0=0,$$
即
$${\text{Proj}}_{g_1}(f_2)=0.$$

4. 得到第三个正交基函数

将上面的结果代入，我们得到：
$$g_2(x)=f_2(x)-{\text{Proj}}_{g_0}(f_2)-{\text{Proj}}_{g_1}(f_2)=x^2-\frac{1}{3}.$$

5. 标准化 $g_2(x)$

为了得到标准化的正交基，我们计算 $g_2(x)$ 的范数：
$$\Vert g_2(x)\Vert =\sqrt{{\int }_{-1}^1{\left(x^2-\frac{1}{3}\right)}^{2}dx}.$$

展开并计算积分：
$${\left(x^2-\frac{1}{3}\right)}^2=x^4-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{1}{9},$$
因此，
$$\Vert g_2(x){\Vert }^2={\int }_{-1}^1\left(x^4-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{1}{9}\right)dx.$$

逐项计算积分：
$${\int }_{-1}^1{x}^{4}dx=\frac{2}{5},{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3},{\int }_{-1}^1\frac{1}{9}dx=\frac{2}{9}.$$

因此，
$$\Vert g_2(x){\Vert }^2=\frac{2}{5}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{8}{45},$$
$$\Vert g_2(x)\Vert =\sqrt{\frac{8}{45}}=\frac{2\sqrt{10}}{15}.$$

最终得到标准化的 $g_2(x)$：
$$g_2(x)=\frac{x^2-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{10}}{15}}=\frac{15}{2\sqrt{10}}\left(x^2-\frac{1}{3}\right)=\frac{3\sqrt{10}}{4}\left(x^2-\frac{1}{3}\right).$$

三、结果

• 通过格拉姆-施密特正交化，我们得到了第三个正交基函数：
  $$g_2(x)=\frac{3\sqrt{10}}{4}\left(x^2-\frac{1}{3}\right).$$

• 至此，我们构造了一组在区间 $[-1,1]$ 上的正交基：
  $$g_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2}},g_1(x)=\sqrt{\frac{3}{2}}x,g_2(x)=\frac{3\sqrt{10}}{4}\left(x^2-\frac{1}{3}\right).$$

四、切比雪夫多项式性质

切比雪夫多项式是定义在区间 ([-1, 1]) 上的一组正交多项式。它们在数值分析、逼近理论和求解微分方程中有广泛应用。

1. 递推性

递归定义：
$$T_0(x)=1,T_1(x)=x$$
$$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x)\text{for }n\ge 1$$

• 利用递归关系来推导前几个切比雪夫多项式：

  • $T_0(x)=1$
  • $T_1(x)=x$
  • $T_2(x)=2x^2-1$
    $$T_2(x)=2x{T}_1(x)-T_0(x)=2x^2-1$$
  • $T_3(x)=4x^3-3x$
    $$T_3(x)=2x{T}_2(x)-T_1(x)=4x^3-3x$$
  • $T_4(x)=8x^4-8x^2+1$
    $$T_4(x)=2x{T}_3(x)-T_2(x)=8x^4-8x^2+1$$

显式公式：
$$T_n(\omega )=\cos (n\arccos (\omega ))=\cos (n{\cos }^{-1}(\omega ))$$

• 令$x=co{s}^{-1}\omega$，则$T_n(\omega )=cos(nx)$
• 通过三角恒等式展开$cos(nx)$，可以发现其与$T_n(\omega )$为恒等关系
• 例如：
  • $cos(0\ast x)=1$
  • $cos(x)=cos(co{s}^{-1}\omega )=\omega$
  • $cos(2x)=2co{s}^x-1=2{\omega }^2-1$

2. 正交性

切比雪夫多项式在区间 ([-1, 1]) 上关于权函数 $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 是正交的，即：
$${\int }_{-1}^1{T}_m(x)T_n(x)w(x)dx=\{\begin{array}{ll}0,& m\ne n\\ \frac{\pi }{2},& m=n\ne 0\\ \pi ,& n=0\end{array}$$