003欧几里得空间的协变基与逆变基,指标升降

R m 的 基 { g α } α = 1 m , 需 要 满 足 d e t [ g 1 , … ， g m ] ≠ 0 , [ g 1 , … ， g m ] ∈ R m , m 可 逆 ∃   R m 的 基 { g β } β = 1 m , 满 足 ( g α , g β ) = δ α β δ α β = { 1    α = β 0    α ≠ β 将 下 标 称 为 协 变 基 { g α } α = 1 m ， 上 标 称 为 逆 变 基 { g β } β = 1 m R^m的基\{ g_\alpha\}_{\alpha =1}^m,\\ 需要满足det[g_1,…，g_m]\neq 0,[g_1,…，g_m]\in R^{m,m}可逆\\ \exists \ R^m的基\{ g^\beta \}_{\beta =1}^m,满足(g_\alpha,g^\beta)=\delta_\alpha^\beta\\ \delta_\alpha^\beta=\left\{\begin{array}{l}1 \ \ \alpha = \beta\\0 \ \ \alpha \neq \beta\end{array}\right.\\ 将下标称为协变基\{ g_\alpha\}_{\alpha =1}^m，上标称为逆变基\{ g^\beta \}_{\beta =1}^m Rm的基{gα​}α=1m​,需要满足det[g1​,…，gm​]​=0,[g1​,…，gm​]∈Rm,m可逆∃ Rm的基{gβ}β=1m​,满足(gα​,gβ)=δαβ​δαβ​={1  α=β0  α​=β​将下标称为协变基{gα​}α=1m​，上标称为逆变基{gβ}β=1m​
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}(g^1{)}^T\\ \dots \\ (g^m{)}^T\end{array}\right][g_1,\dots ，g_m]=I \\ 可利用线性代数的知识得到，对于某协变基，逆变基是唯一确定的 \\ 协变基求逆再求转置既得逆变基 \end{gathered}$$

典 则 基 ： 标 准 正 交 基 { i α } ， ξ ∈ R m = { ξ α g α （ 已 用 爱 因 斯 坦 求 和 约 定 省 略 , 逆 变 分 量 ξ α = ( ξ , g α ) ） ξ β g β （ ， 其 中 协 变 分 量 ξ β = ( ξ , g β ) ） 典则基：标准正交基\{i_\alpha \}，\\ \xi \in R^m=\left\{\begin{array}{l} \xi^\alpha g_\alpha （已用爱因斯坦求和约定省略,逆变分量\xi^\alpha=(\xi,g^\alpha)） \\ \xi_\beta g^\beta （，其中协变分量\xi_\beta=(\xi,g_\beta)） \end{array}\right. \\ 典则基：标准正交基{iα​}，ξ∈Rm={ξαgα​（已用爱因斯坦求和约定省略,逆变分量ξα=(ξ,gα)）ξβ​gβ（，其中协变分量ξβ​=(ξ,gβ​)）​

$$\begin{gathered} 先引入一个概念：度量张量g_{\alpha ,\beta }=(g_{\alpha },g_{\beta }),g^{\alpha ,\beta }=(g^{\alpha },g^{\beta }) \\ (g_{\alpha },g^{\beta })={\delta }_{\alpha }^{\beta } \\ {g}_{\alpha ,\gamma }{g}^{\gamma ,\beta }={\delta }_{\alpha }^{\beta }(\alpha \in 1\dots \dots m,\beta 同样)？ \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 结构：协变基与逆变基是两组向量，可以相互表示 \\ 因为\xi \in R^m=\{\begin{array}{l}{\xi }^{\alpha }{g}_{\alpha }（已用爱因斯坦求和约定省略）\\ {\xi }_{\beta }{g}^{\beta }（逆变分量{\xi }^{\alpha }=(\xi ,g^{\alpha })，其中协变分量{\xi }_{\beta }=(\xi ,g_{\beta })）\end{array} \\ 所以g_{\alpha }\in R^m=\{\begin{array}{l}(g_{\alpha },g^{\beta })g_{\beta }={\delta }_{\alpha }^{\beta }{g}_{\beta }\\ (g_{\alpha },g_{\beta })g^{\beta }=g_{\alpha ,\beta }{g}^{\beta }\end{array} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{g}_{\alpha }=g_{\alpha ,\beta }{g}^{\beta }\\ g^{\alpha }=g^{\alpha ,\beta }{g}_{\beta }\end{array} \\ 这个就是著名的指标升降(是对基向量而言的) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} g_{\alpha ,\gamma }{g}^{\gamma ,\beta }={\delta }_{\alpha }^{\beta } \\ {g}_{\alpha ,\gamma }{g}^{\gamma ,\beta } \\ =(g_{\alpha },g_{\gamma })g^{\gamma ,\beta } \\ =(g_{\alpha },g^{\gamma ,\beta }\ast g_{\gamma }) \\ =(g_{\alpha },g_{\beta }) \end{gathered}$$

度量张量

$$\begin{gathered} 度量张量定义为（协变定义的）：g_{\alpha ,\beta }{g}^{\alpha }\otimes g^{\beta },一个标量\times 一个简单张量 \\ 由简单张量的构成，上式还可写为\{\begin{array}{l}(g_{\alpha ,\beta }{g}^{\alpha })\otimes g^{\beta }=g_{\beta }\otimes g^{\beta }={\delta }_{\beta }^{\alpha }{g}_{\alpha }\otimes g^{\beta }\\ g^{\alpha }\otimes (g_{\alpha ,\beta }{g}^{\beta })=g^{\alpha }\otimes g_{\alpha }={\delta }_{\alpha }^{\beta }{g}^{\alpha }\otimes g_{\beta }\end{array} \end{gathered}$$

转换一下：

课外拓展

加来道雄书中的「度规张量」是什么？

正定度规：
度规用正交归一基底写成对角矩阵后，对角元如果全为+1，则称该度规是正定度规，如果全为-1，则称为负定度规。