线性映射——详解

研究线性映射是研究线性空间之间的映射。

线性映射可以表示为矩阵的形式，所以在线性映射中矩阵中的大量概念都可以找到对应关系。

线性映射与线性变换

设  和  是域  上的两个线性空间， 是  到  的一个映射。

如果对于  中任意的向量  和 ，域  中任意的标量  和 ，有：

称  是  到  的一个线性映射。如果 ，则称  是  上的一个线性变换。

例如，恒等变换  保持空间不变，零变换  将空间映射至零空间。

可以记  为所有  到  的线性映射构成的集合。对于全体线性变换 ，也记为 。

性质

• 线性映射将零向量映射到零向量。
• 线性映射保持线性运算形式不变，即，线性运算的线性映射，等于线性映射的线性运算。
• 线性映射保持线性相关性，即，映射前线性相关，映射后也线性相关。

但是线性映射不保持线性无关性。映射前线性无关，映射后不一定线性无关。

线性映射的矩阵表示

设  的维数是 ， 的一组基为 ， 的维数是 ， 的一组基为 ， 是  到  的一个线性映射。

将每个  经由  映射后的向量用  表示：

采用矩阵记法：

称矩阵  为线性映射  在这两组基下的矩阵表示。

线性映射的核空间与像空间

这里的核空间与像空间是站在线性映射的视角下叙述的。借助矩阵表示可以看出，线性映射的核空间与像空间与矩阵的核空间与像空间是一致的。

设  是由空间  到空间  的线性映射，令：

易验证  为  的子空间， 为  的子空间，称  及  为  的核空间和像空间，并称  的维数为  的 零度 或 亏， 的维数为  的 秩。

定理：设  是由空间  到空间  的线性映射， 的维数有限，则  及  均为有限维，且有：

即  的亏加秩等于其定义域  的维数。

线性变换的矩阵表示

设  的维数是 ， 的一组基为 ， 是  上的一个线性变换，则有：

采用矩阵记法：

称矩阵  为线性变换  在这组基下的矩阵表示。

由空间结构和  的线性性质， 由  完全确定，故由  唯一确定一个矩阵 。

定理：设  的维数是 ， 为  的一组基，任取  阶方阵 ，有且仅有一个从  到  的线性变换 ，使得  的矩阵恰好为 。

推论：在  和全体  阶方阵之间存在一一对应关系。

例如：零变换对应零矩阵，恒等变换对应单位矩阵。

线性变换构成的空间

定理： 也可以构成线性空间，引入  中的运算：对于  中任意的  与 ， 中任意的 ，域  中任意的 ，有：

容易验证  是  上的一个线性空间，即线性变换空间。

对于  中的线性变换  与 ，定义  与  的乘积  为：

可以验证  也是  中的线性变换，并且线性变换的乘积满足结合律，而不满足交换律，与矩阵的乘积类似。

对于  中的线性变换 ，如果  中的线性变换 ，使得对于  中任意的向量 ，有：

则称  是  的逆变换，记作：

且有：

定理：设  的维数为 ， 为  的一组基，在这组基下线性变换  的矩阵为 ， 的矩阵为 ，则：

• 线性变换  的矩阵为 
• 线性变换的数乘  的矩阵为 
• 线性变换的乘积  的矩阵为 
• 线性变换  的逆变换若存在，矩阵为 

坐标

设  个向量  是  维空间  的一个基，对于  中任意的向量 ，令  为：

称列向量：

为向量  在基  下的 坐标。

可见，坐标是由域中的标量构成的列向量，与阿贝尔群中的向量应当进行区分。

坐标变换公式

设  的维数为 ， 中有变换 ， 在基  下的矩阵为 。设：

且有：

则有：

空间  中的列向量点本质上都是「基乘坐标」的形式。空间  中的列向量点 ，本身用了单位阵  作为基，即 。

只有同一个基，基不动的时候，单纯的线性变换 ，就是坐标左乘普通矩阵。

把线性变换  看成对于空间  的一个观测滤镜。线性变换  的作用对象是空间 ，将空间  扭曲了。加了滤镜之后，点本身的位置没有变。

这个定理也说明，对于列向量基的线性变换 ，等价于对于基右乘一个过渡矩阵。

于是，在不同的基之间，坐标关系是左乘过渡矩阵的逆矩阵。

过渡矩阵

设  个向量  与  个向量  是空间  的两组基。对于 ，令每个向量  在基  下的坐标为：

于是  个向量  排成等式左边的矩阵， 个坐标排成等式右边的矩阵 ：

矩阵  称为由基  到基  的 过渡矩阵，也称为变换矩阵。

显然过渡矩阵可逆。对于上式，由基  到基  的过渡矩阵为 。

可见，过渡矩阵是由域中的标量构成的矩阵，并非阿贝尔群中的向量排成的矩阵，应当予以区分。

设  个向量  与  个向量  是空间  的两组基。对于空间  中的同一个向量 ，有：

代入上文的

由唯一性，得到：

或者

这是纯粹坐标之间的变换，坐标变换公式均在标量域中。由于前文做了区分，线性空间与阿贝尔群中的向量是「抽象的向量」，而坐标与过渡矩阵的元素均在标量域中，视为「具体的向量」，两种向量应当视为「不同的东西」。

矩阵可以对整个空间，即全体坐标进行变换，列向量  作为坐标遍布整个空间。

单位矩阵  由单位向量构成。矩阵  会将单位矩阵  变换到矩阵  的每个列向量，即将单位向量变换到矩阵  的每个列向量。因此左乘矩阵 ，也可以视为将空间做了这样的变换。

向量左乘矩阵，也可以视为坐标左乘向量组。用坐标的观点看待就是：

同一个列向量 ，在「正常」的空间，单位矩阵  代表的空间下，坐标为 ，在变换后新的空间里，坐标将记为 。这样一来，矩阵  不仅是正常空间下的一组基，也是从向量组  到向量组  的过渡矩阵。

线性变换  会将一个基映射为另一个基，于是坐标也被映射为另一个坐标。

如果将基  映射到  对应的线性变换  的过渡矩阵是 ，那么对应的基矩阵就有 。

于是坐标的关系恰好反过来。假设线性变换  映射后的坐标是 ，即加滤镜后观察到坐标 ，于是点在  的表示就是 。还原的办法就是用过渡矩阵，把点在  的表示写成 。于是坐标变换为左乘过渡矩阵的逆矩阵的看法就明显了。

线性变换与矩阵相似

在空间  中的一个线性变换  对于空间  的基  的关系：

线性变换  作用于基 ，将基  映射到了 ，相当于在基  右乘一个 ，即 。

矩阵相似考虑的问题是：同一个线性变换 ，在基  的空间  中描述为矩阵 ，在基  的空间  中描述为矩阵 。

如果过渡矩阵为 ，即 ，那么两个描述  和  之间有怎样的联系。

由于是同一个变换 ，可以发现一个事实，变换前后的过渡矩阵关系始终成立，即：

线性变换  在基  视角下仍旧为右乘，基  转化到基  再右乘一个 ，变换前后保持过渡矩阵  的关系：

于是问题得到解决：

定理：设  中有变换 ，则  在不同基下的矩阵 相似。

对于方阵  和方阵 ，如果存在可逆矩阵  使得 ，则  和  相似。

矩阵相似保持秩不变，因此矩阵相似可以推出矩阵等价。但是，等价的两个矩阵未必相似。

由于矩阵相似与形状密切相关，因此矩阵相似和向量组等价、方程组同解之间没有关系。

回过头来，矩阵相似的解释就是 4 个等式：、、、。

参考资料

• 【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集 P13 09 - 基变换