极限的四则运算和洛必达法则的使用条件

洛必达法则的陷阱：点可导和区间可导(原因：洛必达法则是柯西中值的极限形式)

x0处的二阶导数存在，可以推出一阶导数在x0处连续。

并不能推出一阶导数在x0的邻域内还连续的。

n阶导数存在只能使用n-1阶洛

$$\begin{gathered} f(0)=f^{\prime }(0)=0,f^{\prime \prime }(0)存在且不等于零 \\ 以一阶导数肯定是存在且连续的 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)}{{\int }_0^{x}f(t)dt+xf(x)} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)+x{f}^{\prime }(x)}{2f(x)+f^{\prime }(x)} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x)}{x}+f^{\prime }(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f^{\prime }(x)}(这一步出错了) \\ 如果从导数的定义理解：其极限为0点的导数“值”,而不是f^{\prime }(x)在趋于零的极限 \\ 并且0/0型不能分开计算，不能带入导数值 \\ 洛必达法则角度：同样洛必达法则是求“值”（函数的极限）而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量\xi ) \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)}{2f^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)}(这一步出错了)=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

正解

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x)}{x}+f^{\prime }(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f^{\prime }(x)} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f^{\prime }(x)}{x}}{2\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f^{\prime }(x)}{x}} \\ 极限存在，分母不为零，可分开计算极限 \\ \frac{{\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}+{\lim }_{x\to 0}\frac{f^{\prime }(x)}{x}}{{\lim }_{x\to 0}2\frac{f(x)}{x^2}+{\lim }_{x\to 0}\frac{f^{\prime }(x)}{x}} \\ =\frac{\frac{3}{2}{f}^{\prime \prime }(0)}{2f^{\prime \prime }(0)}=\frac{3}{4} \end{gathered}$$