极限的四则运算和洛必达法则的使用条件

考研复习 求解函数极限的方法全总结 lim⁡x→∞\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x→∞lim​ lim⁡x→ x0\lim\limits_{x\rightarrow\ x_0}x→ x0​lim​ 几种常用的极限: 1.lim⁡x→∞qn=0\lim\limits_{x\rightarrow\infty} q^n=0x→∞lim​qn=0        ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1 引申:    &n 阅读详情

洛必达法则的陷阱:点可导和区间可导(原因:洛必达法则是柯西中值的极限形式)

x0处的二阶导数存在,可以推出一阶导数在x0处连续。

并不能推出一阶导数在x0的邻域内还连续的。

n阶导数存在只能使用n-1阶洛

f(0)=f′(0)=0,f′′(0)存在且不等于零以一阶导数肯定是存在且连续的lim⁡x→0xf(x)∫0xf(t)dt+xf(x)=lim⁡x→0f(x)+xf′(x)2f(x)+f′(x)=lim⁡x→0f(x)x+f′(x)2f(x)x+f′(x)(这一步出错了)如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f′(x)在趋于零的极限并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)=lim⁡x→0f′(x)+f′(x)2f′(x)+f′(x)(这一步出错了)=23 f(0)=f'(0)=0,f''(0)存在且不等于零\\ 以一阶导数肯定是存在且连续的\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(x)}{\int_{0}^{x} f(t)dt+xf(x)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+xf'(x)}{2 f(x)+f'(x)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}(这一步出错了)\\ 如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f'(x)在趋于零的极限\\ 并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值\\ 洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)+f'(x)}{2f'(x)+f'(x)}(这一步出错了)=\frac{2}{3}\\ f(0)=f′(0)=0,f′′(0)存在且不等于零以一阶导数肯定是存在且连续的x→0lim​∫0x​f(t)dt+xf(x)xf(x)​=x→0lim​2f(x)+f′(x)f(x)+xf′(x)​=x→0lim​2xf(x)​+f′(x)xf(x)​+f′(x)​(这一步出错了)如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f′(x)在趋于零的极限并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)=x→0lim​2f′(x)+f′(x)f′(x)+f′(x)​(这一步出错了)=32​
在这里插入图片描述

正解

lim⁡x→0f(x)x+f′(x)2f(x)x+f′(x) lim⁡x→0f(x)x2+f′(x)x2f(x)x2+f′(x)x 极限存在,分母不为零,可分开计算极限lim⁡x→0f(x)x2+lim⁡x→0f′(x)xlim⁡x→02f(x)x2+lim⁡x→0f′(x)x=32f′′(0)2f′′(0)=34 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}\\ \ \\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}{2\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}\\ \ 极限存在,分母不为零,可分开计算极限\\ \frac{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}{\lim_{x\rightarrow 0}2\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}\\ =\frac{\frac{3}{2}f''(0)}{2f''(0)}=\frac{3}{4} x→0lim​2xf(x)​+f′(x)xf(x)​+f′(x)​ x→0lim​2x2f(x)​+xf′(x)​x2f(x)​+xf′(x)​​ 极限存在,分母不为零,可分开计算极限limx→0​2x2f(x)​+limx→0​xf′(x)​limx→0​x2f(x)​+limx→0​xf′(x)​​=2f′′(0)23​f′′(0)​=43​

高数 | 【极限与等价无穷小】两个重要极限 & 经典错误 & 什么情况下求极限可以直接带入 一. 第一个重要极限 二. 第二个重要极限 三. 导数定义式 全文见【高等数学】两个重要的极限 - 知乎 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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有限个极限运算及常见错误小结

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