极限的四则运算和洛必达法则的使用条件

本文探讨了洛必达法则在处理0/0型未定义极限时的常见错误,强调了一阶导数在某点连续并不意味着在该点邻域内也连续。通过举例说明,解释了导数的定义与洛必达法则的区别,指出在应用洛必达法则时不能直接带入导数值,并提供了解决此类问题的正确方法。最终,通过正确的计算得到极限值为3/4。

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洛必达法则的陷阱:点可导和区间可导(原因:洛必达法则是柯西中值的极限形式)

x0处的二阶导数存在,可以推出一阶导数在x0处连续。

并不能推出一阶导数在x0的邻域内还连续的。

n阶导数存在只能使用n-1阶洛

f(0)=f′(0)=0,f′′(0)存在且不等于零以一阶导数肯定是存在且连续的lim⁡x→0xf(x)∫0xf(t)dt+xf(x)=lim⁡x→0f(x)+xf′(x)2f(x)+f′(x)=lim⁡x→0f(x)x+f′(x)2f(x)x+f′(x)(这一步出错了)如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f′(x)在趋于零的极限并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)=lim⁡x→0f′(x)+f′(x)2f′(x)+f′(x)(这一步出错了)=23 f(0)=f'(0)=0,f''(0)存在且不等于零\\ 以一阶导数肯定是存在且连续的\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(x)}{\int_{0}^{x} f(t)dt+xf(x)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+xf'(x)}{2 f(x)+f'(x)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}(这一步出错了)\\ 如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f'(x)在趋于零的极限\\ 并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值\\ 洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)+f'(x)}{2f'(x)+f'(x)}(这一步出错了)=\frac{2}{3}\\ f(0)=f(0)=0,f(0)x0lim0xf(t)dt+xf(x)xf(x)=x0lim2f(x)+f(x)f(x)+xf(x)=x0lim2xf(x)+f(x)xf(x)+f(x)()0,f(x)0/0(ξ)=x0lim2f(x)+f(x)f(x)+f(x)()=32
在这里插入图片描述

正解

lim⁡x→0f(x)x+f′(x)2f(x)x+f′(x) lim⁡x→0f(x)x2+f′(x)x2f(x)x2+f′(x)x 极限存在,分母不为零,可分开计算极限lim⁡x→0f(x)x2+lim⁡x→0f′(x)xlim⁡x→02f(x)x2+lim⁡x→0f′(x)x=32f′′(0)2f′′(0)=34 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}\\ \ \\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}{2\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}\\ \ 极限存在,分母不为零,可分开计算极限\\ \frac{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}{\lim_{x\rightarrow 0}2\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}\\ =\frac{\frac{3}{2}f''(0)}{2f''(0)}=\frac{3}{4} x0lim2xf(x)+f(x)xf(x)+f(x) x0lim2x2f(x)+xf(x)x2f(x)+xf(x) limx02x2f(x)+limx0xf(x)limx0x2f(x)+limx0xf(x)=2f(0)23f(0)=43

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