洛必达法则的陷阱:点可导和区间可导(原因:洛必达法则是柯西中值的极限形式)
x0处的二阶导数存在,可以推出一阶导数在x0处连续。
并不能推出一阶导数在x0的邻域内还连续的。
n阶导数存在只能使用n-1阶洛
f(0)=f′(0)=0,f′′(0)存在且不等于零以一阶导数肯定是存在且连续的limx→0xf(x)∫0xf(t)dt+xf(x)=limx→0f(x)+xf′(x)2f(x)+f′(x)=limx→0f(x)x+f′(x)2f(x)x+f′(x)(这一步出错了)如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f′(x)在趋于零的极限并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)=limx→0f′(x)+f′(x)2f′(x)+f′(x)(这一步出错了)=23
f(0)=f'(0)=0,f''(0)存在且不等于零\\
以一阶导数肯定是存在且连续的\\
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{xf(x)}{\int_{0}^{x} f(t)dt+xf(x)}\\
=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+xf'(x)}{2 f(x)+f'(x)}\\
=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}(这一步出错了)\\
如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f'(x)在趋于零的极限\\
并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值\\
洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)\\
=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)+f'(x)}{2f'(x)+f'(x)}(这一步出错了)=\frac{2}{3}\\
f(0)=f′(0)=0,f′′(0)存在且不等于零以一阶导数肯定是存在且连续的x→0lim∫0xf(t)dt+xf(x)xf(x)=x→0lim2f(x)+f′(x)f(x)+xf′(x)=x→0lim2xf(x)+f′(x)xf(x)+f′(x)(这一步出错了)如果从导数的定义理解:其极限为0点的导数“值”,而不是f′(x)在趋于零的极限并且0/0型不能分开计算,不能带入导数值洛必达法则角度:同样洛必达法则是求“值”(函数的极限)而非某个函数(如果不带入值实际上多了一个变量ξ)=x→0lim2f′(x)+f′(x)f′(x)+f′(x)(这一步出错了)=32
正解
limx→0f(x)x+f′(x)2f(x)x+f′(x) limx→0f(x)x2+f′(x)x2f(x)x2+f′(x)x 极限存在,分母不为零,可分开计算极限limx→0f(x)x2+limx→0f′(x)xlimx→02f(x)x2+limx→0f′(x)x=32f′′(0)2f′′(0)=34 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x}+f'(x)}{2\frac{f(x)}{x}+f'(x)}\\ \ \\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}{2\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}\\ \ 极限存在,分母不为零,可分开计算极限\\ \frac{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}{\lim_{x\rightarrow 0}2\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{x}}\\ =\frac{\frac{3}{2}f''(0)}{2f''(0)}=\frac{3}{4} x→0lim2xf(x)+f′(x)xf(x)+f′(x) x→0lim2x2f(x)+xf′(x)x2f(x)+xf′(x) 极限存在,分母不为零,可分开计算极限limx→02x2f(x)+limx→0xf′(x)limx→0x2f(x)+limx→0xf′(x)=2f′′(0)23f′′(0)=43