非本质扩张,平凡扩张与中心扩张暂记

本文深入探讨了群论中的扩张理论,包括非本质扩张、平凡扩张与中心扩张的概念及其实例。解析了半直积与直积的区别,以及它们在群论中的应用。通过具体例子,如Z群、S3群等,详细阐述了这些概念如何应用于实际的数学问题。

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GNAG/NB
{1,a,a^2 , a^3 }{1,a^2}Z2{1,a的等价类}Z2
{1,a,b,c}{1,a}Z2{1,b的等价类}Z2
S3A3Z2S3/A3Z2
Z2ZZZ/2ZZ2
O(n)SO(n)O(n)/SO(n)Z2
对于一个群其正规子群正规子群的同构群商群商群的同构群

非本质扩张,平凡扩张与中心扩张

例4.5.11)对整数加群Z,它的正规子群2Z与Z同构,而Z/2Z=Z2是2阶
循环群,因而Z是Z2过2Z的扩张.由于Z的任何子群都不同构于Z2, 因而这个扩
张不是非本质扩张.
设G是群B过A的扩张,N是扩张的核。1.非本质扩张(半直积):如果存在G的子群H,使得交为H∩N={1},乘为G=N>◃H(记这个符号时可分两部分,N>G是不可能的,所以N是正规的部分,H是子群的部分)2.平凡扩张((内)直积):H是正规子群(更进一步两个都是正规子群了),G=N⊗H3.中心扩张:N∈C(G) 设G是群B过A的扩张,N是扩张的核。\\ 1.非本质扩张(半直积):\\如果存在G的子群H,使得交为H \cap N=\left\{1 \right\} ,乘为G=N >\triangleleft H\\(记这个符号时可分两部分,N>G是不可能的,所以N是正规的部分,H是子群的部分)\\ 2.平凡扩张((内)直积):\\H是正规子群(更进一步两个都是正规子群了),G=N\otimes H\\ 3.中心扩张:\\N \in C(G) GBAN1.GH使HN={1}G=N>H(N>GNH)2.()H(),G=NH3.NC(G)
群中具有交换性的部分,由群中心的概念来刻画。群G中与所有群元都交换的元素的集合称为群中心(center) : Z(G)=z∈G∣Vg∈G:zg=gzZ(G)={z∈G|Vg∈G: zg= gz}Z(G)=zGVgG:zg=gz

这里字母Z来自德文Zentrum(center)。群中心Z(G)是-一个正规子群, 且商群G/Z(G)
与内自同构(inner automorphism)群Inn(G)同构。群中心是群中具有交换性质元素的集合,
Z(G)= G的条件等价于G是Abel群。另-方面若退化为平凡群Z(G)= {0}则称群G
无心的(centerless)。在(2)的扩张中,如果N \subset Z(G) , 那么N具有交换性的中心元素
构成的正规子群,这样的扩张称为中心扩张(central extension)。


半直积

到现在为止多了一个东西,也就是H,但是我们观察原来的关系图:
{1}→A →G→B→{1}homo↘ ∇ ↘↓homo                N    G/N    \left\{1 \right\} \rightarrow A \ \rightarrow G \rightarrow B \rightarrow \left\{1 \right\}\\ homo\searrow \ \nabla \ \searrow \downarrow homo\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ \ \ G/N \ \ \ \ \\ \qquad {1}A GB{1}homo  homo                N    G/N    

H应该是和商群有一定的联系
{1}→A ⟶λG⟶μB→{1}homo↘ ∇ ↘↓homo                N    G/N    \left\{1 \right\} \rightarrow A \ \stackrel{λ}{\longrightarrow} G \stackrel{μ}{\longrightarrow} B \rightarrow \left\{1 \right\}\\ homo\searrow \ \nabla \ \searrow \downarrow homo\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ \ \ G/N \ \ \ \ \\ \qquad {1}A λGμB{1}homo  homo                N    G/N    

群同态:把μ限制在H上(也就是H到B中元素的映射)群同态:把μ限制在H上(也就是H到B中元素的映射)μH(HB)
引理:以上的群同态实际上是群同构(需要证明既单又满)引理:以上的群同态实际上是群同构(需要证明既单又满)()
有限群中的可解群与幂零群:

在G中是否 存在 子空间H与A 使得交为单位元(将线性空间看成阿贝尔群,0就是单位元)
H*A=G 成立
G 是H 与 N的 半 直积 (两个线性子空间直和的推广)

是正规 子群两个符号的合成

当G到B上的同态限制在H上时:是H->B的同构

“补子群”H,使得N交H为平凡的单位元,N*H为全空间
同构是双射,考虑同构的逆: η
如果B到G的同态 η的像是G的子群,并且满足“补子群”的两条性质。
考虑: μηB(恒等映射,两个映射合成是恒等,前一个一点定是单射,后一个一定是满射):B->G->B

观察例子中的半直积:

GNAG/NB找G中的子群与B同构H计算交集
{1,a,a^2 , a^3 }{1,a^2}Z2{1,a的等价类}Z2N(循环群特定阶的子群是唯一的)不是{1}
{1,a,b,c:a2=b2=c^2=1,ab=c}{1,a}Z2{1,b的等价类}Z2{1,b}或{1,c}是{1},且满足乘条件,是半直积
S3A3Z2S3/A3Z22阶子群之一{(1),(1,2)}是半直积
Z2ZZZ/2ZZ2Z中没有二阶元
O(n)SO(n)O(n)/SO(n)Z2镜像映射是是二阶的是半直积
对于一个群其正规子群正规子群的同构群商群商群的同构群Z2

观察例子中的直积:

GNAG/NB找G中的子群与B同构HH是否正规
{1,a,b,c:a2=b2=c^2=1,ab=c}{1,a}Z2{1,b的等价类}Z2{1,b}或{1,c}是正规子群(阿贝尔群的每个子群都是正规子群)
S3A3Z2S3/A3Z22阶子群{(1),(1,2)}{(1),(1,3)}{(1),(2,3)}不是共轭的,不是直积
O(n)SO(n)O(n)/SO(n)Z2镜像映射是是二阶的因为特征值不同,所以和【-1,0;0,1】可换的只有对角阵,n是偶数2时不可行,n是奇数可行正规,是直积(奇数维的正交变换与偶数维的正交变换有很大的区别)
对于一个群其正规子群正规子群的同构群商群商群的同构群

镜面反射:保持空间中的一个超平面不变,吧垂直的反向
所以特征向量一定是1 ,-1.并且1是n-i维
例如:
[[-1 0 0 0],
[0 1 0 0],
[0 0 1 0],
[0 0 0 1]]
行列式为-1 不在SO(n) 有时补子群也不满足条件

( 不变补子空间,可使空间分解成两个不变子空间的直和,整个矩阵就可写为准对角块了。当然空间分的越细。分解为一系列不变子空间的直和,矩阵可写成很多块,一直到若当标准型。)

如果H是G的正规子群,则称G是H与N的(内)直积。
(半直积是因为只有一个正规子群,直积两个)

任意给A,B,一定存在B过A的平凡扩张

therome:任何群A B,存在B过A的平凡扩张。
G={(a,b)|a属于A,b属于B}=AXB
运算:(a,b)(c,d)=(ac,bd)
要先证明运算构成群,然后证明 这个扩张的短正合链满足映射的要求
平凡扩张的正合列的映射的构造是简单的。

唯一性:

唯一性的验证:由建立同构关系,显然
例:高代中两个可逆矩阵的 平凡 拼接
拼成对角块
实际上更多的是将一个大矩阵用相似等方法拆分为对角块
<Young 图 幂零矩阵的标准型>

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