非本质扩张，平凡扩张与中心扩张暂记

G	N	A	G/N	B
{1,a,a^2 , a^3 }	{1,a^2}	Z2	{1,a的等价类}	Z2
{1,a,b,c}	{1,a}	Z2	{1，b的等价类}	Z2
S3	A3	Z2	S3/A3	Z2
Z	2Z	Z	Z/2Z	Z2
O(n)	SO(n)		O(n)/SO(n)	Z2
对于一个群	其正规子群	正规子群的同构群	商群	商群的同构群

非本质扩张，平凡扩张与中心扩张

例4.5.11)对整数加群Z,它的正规子群2Z与Z同构,而Z/2Z=Z2是2阶
循环群,因而Z是Z2过2Z的扩张.由于Z的任何子群都不同构于Z2, 因而这个扩
张不是非本质扩张.
设G是群B过A的扩张，N是扩张的核。1.非本质扩张（半直积）：如果存在G的子群H，使得交为H∩N={1}，乘为G=N>◃H(记这个符号时可分两部分，N>G是不可能的，所以N是正规的部分，H是子群的部分)2.平凡扩张（(内)直积）：H是正规子群(更进一步两个都是正规子群了),G=N⊗H3.中心扩张：N∈C(G) 设G是群B过A的扩张，N是扩张的核。\\ 1.非本质扩张（半直积）：\\如果存在G的子群H，使得交为H \cap N=\left\{1 \right\} ，乘为G=N >\triangleleft H\\(记这个符号时可分两部分，N>G是不可能的，所以N是正规的部分，H是子群的部分)\\ 2.平凡扩张（(内)直积）：\\H是正规子群(更进一步两个都是正规子群了),G=N\otimes H\\ 3.中心扩张：\\N \in C(G) 设G是群B过A的扩张，N是扩张的核。1.非本质扩张（半直积）：如果存在G的子群H，使得交为H∩N={1}，乘为G=N>◃H(记这个符号时可分两部分，N>G是不可能的，所以N是正规的部分，H是子群的部分)2.平凡扩张（(内)直积）：H是正规子群(更进一步两个都是正规子群了),G=N⊗H3.中心扩张：N∈C(G)
群中具有交换性的部分，由群中心的概念来刻画。群G中与所有群元都交换的元素的集合称为群中心(center) : $$Z(G)=z\in G|Vg\in G:zg=gz$$

这里字母Z来自德文Zentrum(center)。群中心Z(G)是-一个正规子群, 且商群G/Z(G)
与内自同构(inner automorphism)群Inn(G)同构。群中心是群中具有交换性质元素的集合，
Z(G)= G的条件等价于G是Abel群。另-方面若退化为平凡群Z(G)= {0}则称群G
无心的(centerless)。在(2)的扩张中,如果N \subset Z(G) , 那么N具有交换性的中心元素
构成的正规子群,这样的扩张称为中心扩张(central extension)。

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半直积

到现在为止多了一个东西，也就是H，但是我们观察原来的关系图：
{1}→A →G→B→{1}homo↘ ∇ ↘↓homo                N    G/N    \left\{1 \right\} \rightarrow A \ \rightarrow G \rightarrow B \rightarrow \left\{1 \right\}\\ homo\searrow \ \nabla \ \searrow \downarrow homo\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ \ \ G/N \ \ \ \ \\ \qquad {1}→A →G→B→{1}homo↘ ∇ ↘↓homo                N    G/N    

H应该是和商群有一定的联系
{1}→A ⟶λG⟶μB→{1}homo↘ ∇ ↘↓homo                N    G/N    \left\{1 \right\} \rightarrow A \ \stackrel{λ}{\longrightarrow} G \stackrel{μ}{\longrightarrow} B \rightarrow \left\{1 \right\}\\ homo\searrow \ \nabla \ \searrow \downarrow homo\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ \ \ G/N \ \ \ \ \\ \qquad {1}→A ⟶λ​G⟶μ​B→{1}homo↘ ∇ ↘↓homo                N    G/N    

$$群同态：把\mu 限制在H上(也就是H到B中元素的映射)$$
$$引理：以上的群同态实际上是群同构(需要证明既单又满)$$
有限群中的可解群与幂零群：

在G中是否 存在 子空间H与A 使得交为单位元（将线性空间看成阿贝尔群，0就是单位元）
H*A=G 成立
G 是H 与 N的 半 直积 （两个线性子空间直和的推广）

是正规 子群两个符号的合成

当G到B上的同态限制在H上时：是H->B的同构

“补子群”H，使得N交H为平凡的单位元，N*H为全空间
同构是双射，考虑同构的逆： η
如果B到G的同态 η的像是G的子群，并且满足“补子群”的两条性质。
考虑： μηB(恒等映射，两个映射合成是恒等，前一个一点定是单射，后一个一定是满射)：B->G->B

观察例子中的半直积：

G	N	A	G/N	B	找G中的子群与B同构H	计算交集
{1,a,a^2 , a^3 }	{1,a^2}	Z2	{1,a的等价类}	Z2	N(循环群特定阶的子群是唯一的)	不是{1}
{1,a,b,c：a2=b2=c^2=1,ab=c}	{1,a}	Z2	{1，b的等价类}	Z2	{1,b}或{1,c}	是{1},且满足乘条件,是半直积
S3	A3	Z2	S3/A3	Z2	2阶子群之一{(1),(1,2)}	是半直积
Z	2Z	Z	Z/2Z	Z2	Z中没有二阶元
O(n)	SO(n)		O(n)/SO(n)	Z2	镜像映射是是二阶的	是半直积
对于一个群	其正规子群	正规子群的同构群	商群	商群的同构群	Z2

观察例子中的直积：

G	N	A	G/N	B	找G中的子群与B同构H	H是否正规
{1,a,b,c：a2=b2=c^2=1,ab=c}	{1,a}	Z2	{1，b的等价类}	Z2	{1,b}或{1,c}	是正规子群(阿贝尔群的每个子群都是正规子群)
S3	A3	Z2	S3/A3	Z2	2阶子群{(1),(1,2)}{(1),(1,3)}{(1),(2,3)}	不是共轭的，不是直积
O(n)	SO(n)		O(n)/SO(n)	Z2	镜像映射是是二阶的	因为特征值不同，所以和【-1，0；0，1】可换的只有对角阵，n是偶数2时不可行，n是奇数可行正规，是直积（奇数维的正交变换与偶数维的正交变换有很大的区别）
对于一个群	其正规子群	正规子群的同构群	商群	商群的同构群

镜面反射：保持空间中的一个超平面不变,吧垂直的反向
所以特征向量一定是1 ，-1.并且1是n-i维
例如:
[[-1 0 0 0],
[0 1 0 0],
[0 0 1 0],
[0 0 0 1]]
行列式为-1 不在SO(n) 有时补子群也不满足条件

（ 不变补子空间，可使空间分解成两个不变子空间的直和，整个矩阵就可写为准对角块了。当然空间分的越细。分解为一系列不变子空间的直和，矩阵可写成很多块，一直到若当标准型。）

如果H是G的正规子群，则称G是H与N的（内）直积。
（半直积是因为只有一个正规子群，直积两个）

任意给A，B，一定存在B过A的平凡扩张

therome:任何群A B，存在B过A的平凡扩张。
G={（a,b）|a属于A，b属于B}=AXB
运算：（a,b）（c,d）=(ac,bd)
要先证明运算构成群，然后证明 这个扩张的短正合链满足映射的要求
平凡扩张的正合列的映射的构造是简单的。

唯一性：

唯一性的验证：由建立同构关系，显然
例:高代中两个可逆矩阵的 平凡 拼接
拼成对角块
实际上更多的是将一个大矩阵用相似等方法拆分为对角块
<Young 图 幂零矩阵的标准型>