群与作用笔记

iff 当且仅当
s set
O orbit

群的生成元组：《《《《《《 < s >

可以用集合生成群，群中的元素为集合中元素本身或逆的有限次乘积。则可证 a,b属于群，则a乘b的逆属于群。
特别的，当集合只有一个元素时，群即为此元素的循环群，元素称为生成元。例如 整数加群是由1作为生成元生成的
集合有限 群 称为有限生成群

置换群Sn n》=3不是置换的 阶为n的阶乘
Sn可由所有的轮换生成 轮换就是部分连续的一圈向前移一位。
《《《《《《《《 这有点象一种数据结构。感觉最起码可以用数据结构实现。
记为将指标用圆括号将轮换的指标括起来

轮换不相交 就是 两个圈不重复

更进一步置换可由不相交轮换的积，且如果次序不计写法唯一。因为不相交，所以满足交换律。

更近一步 Sn可由 1和其他位置的对换《《《《《《《《《（1，j）

生成 证明 任何对换可分解 任何轮换可解为对换

练习题：一个群减去自己的非空真子群后，作为生成元组能生成整个群。（群的配集分解）

群在集合上的作用：

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之所以会定义群，就是要描述它在对象上的作用。最原始的群就是对称群和置换群，

他们在初等的Galois理论中出现，并作用在集合上。

群这个概念之所以有意义，就是因为它能作用在对象上，没有群的作用，也就没有群。

群作用就是群的一种具体实现方式，也就是把群里面的元素看成某个集合上面的双射
‘’’

群到集合的作用可以理解为一个二元函数，自变量分别为群和集合，函数取值于集合。

《《《《《《《《
对单位元和元素的作用仍映射为集合中的元素
其次对两个群元素积和元素的作用映射 两次作用的复合

特别的，当群作为集合，可定义群在群上的作用（群自身对自身的作用，就像同一维空间的矩阵相乘）：
左平移gx 右平移 xg逆
还有伴随作用 gxg逆

可递与齐性空间（可==存在）

当集合上任意两元素存在作用属于群使得作用等式成立，则称作用是可递的（在被作用空间传递）。集合称为群的 齐性空间。

平凡作用与有效作用

称任何作用都保持不变的群作用是平凡的。（G在G上的伴随作用为平凡当且仅当G为阿贝尔群。）
称只有群中的幺元作用保持恒等时，群在集合上的作用是有效的。
群对群的左平移和右平移即是可递的又是有效的。

群 到 集合的置换 的 映射是同态，（此二元函数作用域与值域的特殊关系）

群对集合的作用是有效的 当且仅当 每个作用是一一的。

注：
可逆作用与置换群的关系： 同态

有效时：只有单位元才映成单位元 所以映射的核为单位元 意味着映射是单射 是一一映射。
（核就是映为单位元的那个，所以同态基本定理就和移项乘法一样）

轨道，迷向子群（下角标都带x,所以是对某个元素的作用）

称当x不动时，群中元素对x作用的结果为x的轨道。《《《《《《《《《《Ox
(某元素的)迷向子群Fx： 是所有 恒等作用的集合 构成的群。可证其为作用的子群。

例子： Rn(n维欧几里得空间) 集合的特殊正交群（special orthogonal group）
正交群的元素的行列式都是1或-1，其中行列式为1的全体正交变换组成一个子群，称为特殊正交群min
（不颠倒的正交变换，两行互换就是颠倒）————————————————————————————
对某单位向量（1，0，0，0 0，0）作用的结果是 n-1维单位球面。
则迷向子群为分块对角矩阵 1，A A属于-1维特殊正交群。 （5）20min

三个等价关系：

1 轨道是一种等价类： 由于群的特性 与 轨道的定义 显然成立
2 轨道上的可递作用有效当且仅当 迷向子群Fx包含G的正规子群仅有 e（称只有群中的幺元作用保持恒等时，群在集合上的作用是有效的。）
有效和迷向子群都是描述恒等映射的。有效说群的有效，迷向是对一个元素作用的子群。
首先建立作用群与轨道置换的映射，有效即映射的核为单位元。
核为正规子群，且 核是恒等映射 则必要性得证。
任意元素属于 正规的迷向子群， 即 在一个类似伴随的作用作用之后任然吸收。
首先聚焦在?? 恒等变换中 G的正规子群
用 单位元的分解技巧 体会这种正规作用的特殊性
其能够保持轨迹恒等? 所以其属于映射的单位元
G在每个轨道上的作用是可递的，是否有效则由迷向子群所包含的G的正规子群确定。
3. 第三条 说的是迷向子群之间的关系 ，y=g(x),Fy=gFxg^(-1)

the last but not least

若有任何问题,请您及时提醒，谢谢

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