【学习笔记】群作用与轨道-稳定化子定理

本文围绕群作用和轨道 - 稳定化子定理展开。先介绍群作用的两种定义及联系,给出群作用核的概念,并通过左平移和共轭作用举例。接着阐述轨道和稳定化子的定义,证明轨道 - 稳定化子定理,最后以二面体群为例进行验证。

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群作用,轨道-稳定化子定理

不妨通过一个简单的例子来引入群作用的概念,恕我直言这个东西真的很神奇

引入

SSS是一个非空集合,我们考虑所有S→SS\rightarrow SSS的双射fff所组成的集合,记为Perm(S)Perm(S)Perm(S),事实上它关于映射的复合作成一个群,即SSS上的置换群,即(Perm(s),∘)(Perm(s),\circ)(Perm(s),)

接下来考虑群GGG上,对于一个特定的元素x∈Gx\in GxG的映射:ϕx:G→G,a↦xa\phi_x:G\rightarrow G,a\mapsto xaϕx:GG,axa,事实上它是一个双射,对于这一点我们只需证明ϕx\phi_xϕx存在逆映射即可。显然ϕx\phi_xϕx的逆映射就是ϕx−1:G→G,a↦x−1a\phi_{x^{-1}}:G\rightarrow G,a\mapsto x^{-1}aϕx1:GG,ax1a

证明:
(ϕx∘ϕx−1)(a)=ϕx((ϕx−1(a)))=ϕx(x−1a)=xx−1a=a=Id(a)(ϕx−1∘ϕx)(a)=ϕx−1((ϕx(a)))=ϕx−1(xa)=x−1xa=a=Id(a) (\phi_x\circ \phi_{x^{-1}})(a)=\phi_x((\phi_{x^{-1}}(a)))=\phi_x(x^{-1}a)=xx^{-1}a=a=Id(a)\\ (\phi_{x^{-1}}\circ \phi_{x})(a)=\phi_{x^{-1}}((\phi_{x}(a)))=\phi_{x^{-1}}(xa)=x^{-1}xa=a=Id(a)\\ (ϕxϕx1)(a)=ϕx((ϕx1(a)))=ϕx(x1a)=xx1a=a=Id(a)(ϕx1ϕx)(a)=ϕx1((ϕx(a)))=ϕx1(xa)=x1xa=a=Id(a)
其中IdIdId就表示S→SS\rightarrow SSS的恒等映射

那么此时就有(ϕx)−1=ϕx−1(\phi_x)^{-1}=\phi_{x^{-1}}(ϕx)1=ϕx1 ,故ϕx\phi_xϕxG到GG到GGG的一个双射 □\square


我们很快就注意到ϕx∈Perm(G)\phi_x\in Perm(G)ϕxPerm(G) 。将目光从ϕx\phi_xϕx上再抽象出来一层,我们定义映射ϕ:(G,⋅)→(Perm(G),∘),x↦ϕx\phi:(G,\cdot)\rightarrow (Perm(G),\circ),x\mapsto \phi_xϕ:(G,)(Perm(G),),xϕx。这里有点抽象,前者是一个群GGG,后者也是一个群,但是它是从一个集合GGG当中得到的,在这个集合里我们忽略了GGG的运算的结构,只考虑它作为集合的结构,从而得到所有在其上的双射组成的(Perm(G),∘)(Perm(G),\circ)(Perm(G),)

映射的两个对象都是群,令人惊奇的是,事实上ϕ\phiϕ也是一个群同态:

证明:

ϕ\phiϕ是良定义的:这一点显然

∀x,y∈G,z∈G\forall x,y\in G,z\in Gx,yGzG
(ϕx∘ϕy)(z)=x(yz)=(xy)z=ϕxy(z) (\phi_x\circ\phi_y)(z)=x(yz)=(xy)z=\phi_{xy}(z) (ϕxϕy)(z)=x(yz)=(xy)z=ϕxy(z)
对于所有的zzz都满足该性质,故
ϕx∘ϕy=ϕxy \phi_x\circ \phi_y=\phi_{xy} ϕxϕy=ϕxy

ϕ(x⋅y)=ϕ(x)∘ϕ(y) \phi(x\cdot y)=\phi(x)\circ \phi(y) ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y)
ϕ\phiϕG→Perm(G)G\rightarrow Perm(G)GPerm(G)的一个群同态 □\square

这样的一个神奇的ϕ\phiϕ就是一个群作用。现在我们给出定义如下

定义1

GGG是一个群,SSS是一个非空集合,若ϕ:G→Perm(S)\phi:G\rightarrow Perm(S)ϕ:GPerm(S)是一个群同态,那么称ϕ\phiϕGGG集合SSS上的一个群作用

在上例中集合SSS恰好就是GGG本身,但是我们也强调过在(Perm(G),∘)(Perm(G),\circ)(Perm(G),)中我们已经忽略了GGG作为群的运算结构而只考虑其集合的结构

从这个定义中我们可以很清晰地看到ϕ\phiϕ作为一个群同态的优美性质,但是实际上还有另外一种等价的定义,它能帮助我们更好地判断一个映射是否为群作用

定义2

GGG是一个群,SSS是一个非空集合,如果映射
σ:G∗S→S(a,x)↦a∘x我们记为a作用在x上 \sigma:G*S\rightarrow S\\(a,x)\mapsto a\circ x \\我们记为a作用在x上 σ:GSS(a,x)ax我们记为a作用在x
满足:
e⋅x=x,∀x∈S(ab)⋅x=a⋅(b⋅x),∀a,b∈G,x∈S e\cdot x=x,\forall x\in S\\(ab)\cdot x=a\cdot(b\cdot x),\forall a,b \in G,x\in S ex=x,xS(ab)x=a(bx),a,bG,xS
那么称群GGG在集合SSS有一个作用 (a,x)↦a⋅x(a,x)\mapsto a\cdot x(a,x)ax

仔细观察定义1,ϕ\phiϕ是我们的群作用,是一个G→Perm(s)G\rightarrow Perm(s)GPerm(s)的映射,现在我们取出一个xxx,得到一个ϕx∈Perm(S)\phi_x\in Perm(S)ϕxPerm(S),它又是一个映射(事实上是双射),它作用在s∈Ss\in SsS,会得到ϕx(s)∈S\phi_x(s)\in Sϕx(s)S。整个过程实际上就是在GGG中取出一个元素x,在SSS中取出一个元素sss,也就是对应G∗SG* SGS,得到一个SSS中的元素,这一过程解释了在定义2中σ\sigmaσ为什么是G∗S→SG* S\rightarrow SGSS的映射。

两个定义的联系

下面我们来证明两个定义其实是等价的:

证明:

定义1→\rightarrow定义2:

首先ϕ\phiϕ确实是G∗S→SG* S\rightarrow SGSS的映射,我们定义双射
ϕa:S→S(a,x)↦a⋅x,a∈G,x∈S \phi_a:S\rightarrow S\\(a,x)\mapsto a\cdot x,a\in G,x\in S\\ ϕa:SS(a,x)ax,aG,xS
则:
∀x∈S,e⋅x=ϕe(x)=Id(x)=x,故第一条得证∀a,b∈G,(ab)⋅x=ϕab(x)=(ϕa∘ϕb)(x)=ϕa(ϕb(x))=ϕa(b⋅x)=a⋅(b⋅x)从而第二条得证 \forall x\in S,e\cdot x=\phi_e(x)=Id(x)=x,故第一条得证\\\forall a,b\in G,(ab)\cdot x=\phi_{ab}(x)=(\phi_a\circ \phi_b)(x)=\phi_a(\phi_b(x))=\phi_a(b\cdot x)=a\cdot(b\cdot x)\\从而第二条得证 xS,ex=ϕe(x)=Id(x)=x,故第一条得证a,bG,(ab)x=ϕab(x)=(ϕaϕb)(x)=ϕa(ϕb(x))=ϕa(bx)=a(bx)从而第二条得证
定义2→\rightarrow定义1:

还是定义
ϕ:G→Perm(S)x↦ϕx其中ϕx:S→Ss↦x⋅s,s∈S \phi:G\rightarrow Perm(S)\\x\mapsto\phi_x\\其中\phi_x:S\rightarrow S\\ s\mapsto x\cdot s,s\in S ϕ:GPerm(S)xϕx其中ϕx:SSsxs,sS
首先证明ϕx\phi_xϕx确实是一个双射:
x⋅(x−1⋅s)=(xx−1)⋅s=e⋅s=sx−1⋅(x⋅s)=(x−1x)⋅s=e⋅s=s x\cdot(x^{-1}\cdot s)=(xx^{-1})\cdot s=e\cdot s= s\\x^{-1}\cdot(x\cdot s)=(x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s= s x(x1s)=(xx1)s=es=sx1(xs)=(x1x)s=es=s
(ϕx)−1=ϕx−1(\phi_x)^{-1}=\phi_{x^{-1}}(ϕx)1=ϕx1,所以它确实是一个双射。这一结论是由性质1保证的,因为e⋅s=se\cdot s=ses=s

而由性质2,我们知道ϕ\phiϕ保持运算,所以ϕ\phiϕ是一个G→Perm(S)G\rightarrow Perm(S)GPerm(S)的群同态,所以ϕ\phiϕ就是群GGG在集合SSS上的作用 □\square

所以第一条性质是为了保证良定义,第二条性质是为了保证群同态,两者合在一起就是对群作用的定义

这样我们对一个映射就有了判断的条件了,也认识到了其优美的同态性质

同时,如果我们认识到了群GGG在集合SSS上有一个群作用
(a,x)↦a⋅x,a∈G,x∈S (a,x)\mapsto a\cdot x,a\in G,x\in S (a,x)ax,aG,xS
那么
ϕ:G→Perm(S)x↦a⋅x \phi:G\rightarrow Perm(S)\\x\mapsto a\cdot x ϕ:GPerm(S)xax
就一定是群GGG到集合SSS的群同态,以及
∀a∈G,ϕa是S→S的双射 \forall a\in G,\phi_a是S\rightarrow S的双射 aG,ϕaSS的双射
(当然ϕa\phi_aϕa不一定是群同态)

群作用的核

群作用的核定义为定义1中同态ϕ\phiϕ的核,即KerϕKer\phiKerϕ


a∈G是群作用的核⇔ϕa=Id⇔ϕa(x)=x,∀x∈S⇔a⋅x=x,∀x∈S a\in G是群作用的核\\\Leftrightarrow \phi_a=Id\\ \Leftrightarrow \phi_a(x)=x,\forall x\in S \\\Leftrightarrow a\cdot x=x,\forall x\in S aG是群作用的核ϕa=Idϕa(x)=x,xSax=x,xS

群作用的例子

我们重新审视一下开头讲的例子

GGG在集合GGG上的左平移


G∗G→Gx↦ax(1) G* G\rightarrow G\\x\mapsto ax (1) GGGxax(1)
显然有
ex=x,∀x∈G(ab)x=a(bx),∀a,b∈G,∀x∈G ex=x,\forall x\in G\\(ab)x=a(bx),\forall a,b\in G,\forall x\in G ex=x,xG(ab)x=a(bx),a,bG,xG
所以(1)(1)(1)式给出了一个群作用。这里我们用定义2重新证明了这是一个群作用。

我们考察一下这个群作用的核
a∈G属于群作用的核⇔ax=x,∀x∈G⇔a=e a\in G属于群作用的核\\\Leftrightarrow ax=x,\forall x\in G\\\Leftrightarrow a=e aG属于群作用的核ax=x,xGa=e
故群作用的核为{e}\{e\}{e},所以ϕ:G→Perm(G)\phi:G\rightarrow Perm(G)ϕ:GPerm(G)是一个单同态。那么显然G≅ImϕG\cong Im\phiGImϕ。又Imϕ<Perm(G)Im\phi<Perm(G)Imϕ<Perm(G),所以群GGG与集合GGG上的一个变换群同构!

如此我们很轻松地就证明了CayleyCayleyCayley定理:任意一个群都同构于某一个集合上的变换群

推论:任意一个有限群都同构于一个置换群


GGG在集合GGG上的共轭作用


G∗G→Gx↦axa−1(2) G* G\rightarrow G\\x\mapsto axa^{-1} (2) GGGxaxa1(2)
显然有
exe−1=x,∀x∈G(ab)⋅x=abxb−1a−1=a⋅(bxb−1)=a⋅(b⋅x) exe^{-1}=x,\forall x\in G\\ (ab)\cdot x=abxb^{-1}a^{-1}=a\cdot(bxb^{-1})=a\cdot(b\cdot x) exe1=x,xG(ab)x=abxb1a1=a(bxb1)=a(bx)
(2)(2)(2)式同样给出了一个群作用,叫做群GGG在集合GGG上的共轭作用

考察该作用的核
a∈G属于群作用的核⇔axa−1=x⇔ax=xa⇔a∈{b∈G∣bx=xb,∀x∈G}=Z(G) a\in G属于群作用的核\\\Leftrightarrow axa^{-1}=x\\\Leftrightarrow ax=xa\\ \Leftrightarrow a\in \{b\in G|bx=xb,\forall x\in G\}=Z(G) aG属于群作用的核axa1=xax=xaa{bGbx=xb,xG}=Z(G)
这里Z(G)Z(G)Z(G)称为群GGG的中心。得到Kerϕ=Z(G)Ker\phi=Z(G)Kerϕ=Z(G)

这里共轭作用比左乘作用的性质要更好一些,因为实际上对于一个作用来说,根据我们之前所说,
ϕa:G→Gx↦axa−1(3) \phi_a:G\rightarrow G\\x\mapsto axa^{-1}(3) ϕa:GGxaxa1(3)

一定是双射,但是却未必是群同态,而共轭作用的每一个ϕx\phi_xϕx都是一个群同态,从而都是群同构

证明:

因为ϕa\phi_aϕa都是双射,我们只需证明它是群同态即可(不是说ϕ\phiϕ是群同态,而是对每一个ϕa\phi_aϕa都是群同态)
∀y,z∈G,ϕa(yz)=a(yz)a−1=aya−1aza−1=ϕa(y)ϕa(z) \forall y,z\in G,\phi_a(yz)=a(yz)a^{-1}=aya^{-1}aza^{-1}=\phi_a(y)\phi_a(z) y,zG,ϕa(yz)=a(yz)a1=aya1aza1=ϕa(y)ϕa(z)
这就证明了共轭作用下每一个ϕa\phi_aϕa都是GGG到自身的群同构 □\square

我们称群GGG到自身的同构映射为自同构(automorphism),而由(3)(3)(3)式定义的同构称为内自同构(inner automorphism)
f是群G的内自同构⇔f是G的共轭作用给出的一个自同构 f是群G的内自同构\Leftrightarrow f是G的共轭作用给出的一个自同构 f是群G的内自同构fG的共轭作用给出的一个自同构

然后我们来研究一些更加深入的东西

轨道-稳定化子定理

轨道


ϕ:G→Perm(s)ϕa(x)=a⋅x \phi:G\rightarrow Perm(s)\\\phi_a(x)=a\cdot x ϕ:GPerm(s)ϕa(x)=ax
是一个群作用

那么定义s∈Ss\in SsS的轨道Orb(s)Orb(s)Orb(s)
Orb(s)={s′∈S∣∃x∈G,xs′=s}={xs∣x∈G} Orb(s)=\{s'\in S|\exist x\in G,xs'=s\}=\{xs|x\in G\} Orb(s)={sS∣∃xG,xs=s}={xsxG}
也就是sss在所有xxx的作用下能到达的点的集合。我们很快就能看到这个定义有什么用

所有元素sss的轨道是集合SSS的一个划分,即

证明:

定义集合SSS上的一个二元关系
y∼x⇔∃a∈G,y=a⋅x y\sim x\Leftrightarrow \exist a\in G,y=a\cdot x yxaG,y=ax
不难验证∼\sim是一个等价关系。所以它给出SSS上的一个划分
∀x∈S,xˉ={y∈S∣y∼x}={y∈S∣∃a∈G,y=a⋅x}={a⋅x∣a∈G}=Orb(x) \forall x\in S,\bar{x}=\{y\in S|y\sim x\}\\=\{y\in S|\exist a\in G,y=a\cdot x\}\\=\{a\cdot x|a\in G\}\\=Orb(x) xS,xˉ={ySyx}={yS∣∃aG,y=ax}={axaG}=Orb(x)
□\square

一些杂谈

我们先来看看T∗X→XT* X\rightarrow XTXX的映射ϕ\phiϕ,当然它不一定满足群作用的性质,但是这个结构本身有很多值得研究的东西

不过我们不妨还是定义(t,x)↦t⋅x(t,x)\mapsto t\cdot x(t,x)tx

  • t∈Tt\in TtT,则集合
    {x∈X∣t⋅x=x} \{x\in X|t\cdot x=x\} {xXtx=x}
    表示的是在变换t下不变的元素

  • K⊂TK\subset TKT,则集合
    {x∈X∣∀t∈K,t⋅x=x} \{x\in X|\forall t\in K,t\cdot x=x\} {xX∣∀tK,tx=x}
    表示的是在KKK中所有变换ttt下都保持不变的x的集合

相对应的,我们以xxx为主视角看看

  • x∈Xx\in XxX,则集合
    {t∈T∣t⋅x=x} \{t\in T|t\cdot x=x\} {tTtx=x}
    表示的是固定了xxx的所有变换t

  • A⊂XA\subset XAX,则集合
    {t∈T∣∀x∈A,t⋅x=x} \{t\in T|\forall x\in A,t\cdot x=x\} {tT∣∀xA,tx=x}
    表示的是固定了A中所有元素xxx的t的集合

事实上,只要给定了形如T∗X→XT * X\rightarrow XTXX的映射,我们都能很清晰地指出以上四个集合的内容

现在再回过头来看稳定化子。

稳定化子

定义s∈Ss\in SsS的稳定化子Stab(s)Stab(s)Stab(s)
Stab(s)={x∈G∣xs=s} Stab(s)=\{x\in G|xs=s\} Stab(s)={xGxs=s}
也就是固定了元素sss的所有xxx,实际上也就是上文的第三个集合

Stab(s)<G

证明:

∀x,y∈Stab(s)\forall x,y\in Stab(s)x,yStab(s),有
x⋅s=y⋅s=s x\cdot s=y\cdot s=s xs=ys=s
从而x−1⋅s=x−1⋅(x⋅s)=(x−1x)⋅s=e⋅s=sx^{-1}\cdot s=x^{-1}\cdot (x\cdot s)=(x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s=sx1s=x1(xs)=(x1x)s=es=s(关键步骤)

所以
(yx−1)⋅s=y(x−1⋅s)=y⋅s=s (yx^{-1})\cdot s=y(x^{-1}\cdot s)=y\cdot s=s (yx1)s=y(x1s)=ys=s

yx−1∈Stab(s) yx^{-1}\in Stab(s) yx1Stab(s)
从而Stab(s)<GStab(s)<GStab(s)<G □\square

稍微总结一下我们就能看到一个很眼熟的东西

引理1

ϕ:G→Perm(S)\phi:G\rightarrow Perm(S)ϕ:GPerm(S)是一个群作用,则 ∀x,y∈G,s∈S,x⋅s=y⋅s⇔xy−1∈Stab(s)\forall x,y\in G,s\in S,x\cdot s=y\cdot s\Leftrightarrow xy^{-1}\in Stab(s)x,yG,sS,xs=ysxy1Stab(s)

这与

H<G,则∀x,y∈G,xH=yH⇔xy−1∈H\forall x,y\in G,xH=yH\Leftrightarrow xy^{-1}\in Hx,yG,xH=yHxy1H

是很像的

现在我们知道Stab(s)Stab(s)Stab(s)里的元素保持sss不变,我们还可以再探究一下其同一个陪集的元素对sss的作用

引理2

aStab(s)=bStab(s)⇔b−1a∈Stab(s)由引理⇔a⋅s=b⋅s aStab(s)=bStab(s) \\\Leftrightarrow b^{-1}a\in Stab(s) \\由引理 \\\Leftrightarrow a\cdot s=b\cdot s aStab(s)=bStab(s)b1aStab(s)由引理as=bs

所以同一个陪集里的元素对sss的作用是一样的

从而我们令
ϕ:(G/Stab(s))l→Orb(s)aStab(s)↦a⋅s \phi:(G/Stab(s))_l\rightarrow Orb(s) \\ aStab(s)\mapsto a\cdot s ϕ:(G/Stab(s))lOrb(s)aStab(s)as
那么从而我们可以通过引理2的正向推和逆向推得到ϕ\phiϕ的合理性以及单射的性质,又由于ϕ\phiϕ显然是一个满射,从而ϕ\phiϕ是一个双射!

如次我们就证得了

轨道-稳定化子定理

ϕ:G→Perm(S)\phi:G\rightarrow Perm(S)ϕ:GPerm(S)是一个群作用,则∀s∈S\forall s\in SsS,存在(G/Stab(s))l(G/Stab(s))_l(G/Stab(s))lOrb(s)Orb(s)Orb(s)的双射

从而∣Orb(s)∣=[G:Stab(s)]|Orb(s)|=[G:Stab(s)]Orb(s)=[G:Stab(s)]

GGG为有限群,则有**∣G∣=∣Orb(s)∣∗∣Stab(s)∣|G|=|Orb(s)|*|Stab(s)|G=Orb(s)Stab(s)**

举一个形象的例子

二面体群 D2nD_{2n}D2n,它是由所有正nnn边形到自身的对称变换所构成的。对称变换,就是把自身映到自身,而且是保距的。保距指的是,原先距离相同的点,变换后距离仍然相同

∣D2n∣=2n|D_{2n}|=2nD2n=2n

证明:

首先正n边形有n个旋转变换,以及n个对称变换(绕n个对称轴分别翻转),这样就有2n2n2n个元素了,我们要证明只有这些元素

任取正n边形的一个顶点sss,考虑其轨道Orb(s)Orb(s)Orb(s),最多只能到达n个顶点,而n个旋转变换就恰好可以让s到达n个不同顶点,所以∣Orb(s)∣=n|Orb(s)|=nOrb(s)=n

然后考虑Stab(s)Stab(s)Stab(s),我们要保持sss不变,不难发现只有两种变换满足要求,一个是恒等变换,另一个是绕s的对称轴翻转的变换,从而Stab(s)=2Stab(s)=2Stab(s)=2

所以∣D2n∣=∣Orb(s)∣∗∣Stab(s)∣=2n|D_{2n}|=|Orb(s)|*|Stab(s)|=2nD2n=Orb(s)Stab(s)=2n □\square

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