本文探讨了线性变换f为单射（单同态）的充要条件，即其核Kerf只包含单位元素e。通过反证法证明了如果存在两个不同元素映射到同一元素，则会导出矛盾。
线性变换 f：A→Bf：A\to Bf：A→B 是单射（单同态）的充要条件是 Kerf={e}{\rm Ker} f=\{e\}Kerf={e}
必要性显然。
充分性：
若 Kerf={e}{\rm Ker} f=\{e\}Kerf={e}，设 fff 不是单射。
则存在 x1,x2∈Ax_1,x_2\in Ax1,x2∈A, s.t. x1≠x2,f(x1)=f(x2)x_1\neq x_2,f(x_1)=f(x_2)x1=x2,f(x1)=f(x2)
则 f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)=0f(x_1-x_2)=f(x_1)-f(x_2)=0f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)=0
从而 x1−x2≠0x_1-x_2\neq 0x1−x2=0 且 x1−x2∈Kerfx_1-x_2\in{\rm Ker} fx1−x2∈Kerf
2021年12月13日22:54:05 添加了证明
扫一扫
2682
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
