欧拉函数φ(x)相关性质及计算

定义：

• 对 正整数$n$，欧拉函数是 小于$n$的正整数 中 与$n$互质的数的数目。（$\phi (1)=1$）

互质：$a$与$b$互质，即$\gcd (a,b)=1$

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性质：

1. 对于质数$p$，$\phi (p)=p-1$

2. 欧拉函数$\phi (x)$为(不完全)积性函数，若 $m$与$n$互质，则$\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$
   特别地，当$m=2$，$n$为奇数时，有$\phi (2n)=\phi (n)$

3. 当$n>2$时，$\phi (n)$是偶数；当$n>6$时，$\phi (n)$是合数（ 因为$\phi (n)=2$是偶数，但不是合数 ）

4. 小于等于$n$的数中，与$n$互质的数的总和为：$\phi (n)\ast n/2(n>1)$

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计算：

• 欧拉函数通式：$$\phi (x)=x\prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$$

其中$p_1,p_2,...,p_n$为$x$的所有质因数，$x$是为正整数。（$\phi (1)=1$）

为方便编程计算，对上述通式进行通分，得到：
$$\phi (x)=x\prod _{i=1}^n(\frac{p_i-1}{p_i})$$
那么只需要求得x的质因数，即可求得欧拉函数。

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模板：

①求一个数$n$的欧拉函数 $O(\sqrt{n})$

即遍历$1$~$\sqrt{n}$找出$n$的质因数进行计算即可。

int phi(int n)   //计算φ(n)
{
	if(n==1)     //特判
		return 1;
    int res=n,k=sqrt(n);
    for(int i=2;i<=k;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);  //先除后乘避免溢出
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)   //不要漏了这句
        res=res/n*(n-1);
    return res;
}

② 求$1$~ $n$的欧拉函数 $O(n\log \log n)$

用 埃氏素筛 的的方法进行处理即可（当然也可以用欧拉筛，不过写起来稍微麻烦些，但是时间复杂度能达到$O(n)$）

就是每次找到一个质数，对 质因数包含该质数的数 的欧拉函数进行一次计算，同时筛去合数。

int get_phi()   //得到欧拉函数表
{
    phi[1]=1;   //特判
    for(int i=2;i<=maxn;i++)  //先令φ(x)=x
        phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(phi[i]!=i)   //说明不是质数
            continue;
        for(int j=i;j<=maxn;j+=i)   //遍历质因数包含i的数
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);  //先除后乘避免溢出
    }
}