（自）协方差矩阵与互协方差矩阵简介

最新推荐文章于 2025-04-22 02:55:17 发布
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#线性代数 #矩阵 #概率论

本文深入探讨了协方差矩阵和互协方差矩阵的概念，解释了它们在多变量统计分析中的作用。自协方差矩阵反映了随机向量内部各元素间的协方差关系，而互协方差矩阵则描述了两个不同随机向量元素之间的协方差。通过实例，文章详细阐述了这两种矩阵的计算方法及其在实际应用中的意义。

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说明

首先需要说明的是：协方差矩阵和互协方差矩阵都不是针对单变量，而是多变量的统计量。
使用随机向量xxx来表示多个变量：
在这里插入图片描述
每一个元素代表一个随机变量，ξ\xiξ表示样本点，每个元素都是一个随机过程或者随机信号。

自协方差矩阵

自协方差矩阵，是一个随机向量元素之间的协方差。
在这里插入图片描述
即（向量xxx减去其均值向量）乘以 （向量xxx减去其均值向量）的复共轭。
在实数情况下，复共轭即转置。

自协方差矩阵，也叫协方差矩阵，有时也叫方差矩阵。

互协方差矩阵

互协方差矩阵，是两个随机向量元素之间的协方差
在这里插入图片描述
即（向量xxx减去其均值向量）乘以 （向量yyy减去其均值向量）的复共轭。

协方差矩阵
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对两个类内协方差矩阵进行对角化，可以将它们变换为对角矩阵。这个过程可以通过对每个协方差矩阵进行特征值分解来实现，从而得到它们的特征向量和特征值，进而得到它们的对角矩阵形式。这个过程的意义在于，它可以帮助我们找到一个新的坐标系，使得在这个坐标系下，每个特征之间都是独立的，从而简化了计算。具体来说，当我们使用对角协方差矩阵作为特征向量的坐标系时，它意味着每个特征之间都是相互独立的，从而方便了进一步的分析和处理。在实际应用中，对角化协方差矩阵可以用于降维、特征选择和分类等任务。
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方差这个是什么就不说了； 协方差定义在两个随机变量上（设$E(X)=\mu$，$E(Y)=\upsilon$）： $cov(X,Y)=E[(X-\mu)(Y-\upsilon)]=E(XY)-\mu \upsilon$ 若X和Y统计独立，那么协方差为0。 若随机变量为列向量，协方差为： $cov(X,Y)=E[(X-\mu)(Y-\upsilon)^T]$ $cov(X,Y)=cov(...
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协方差
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根据公式，计算协方差需要计算均值，那是按行计算均值还是按列呢，我一开始就老是困扰这个问题。前面我们也特别强调了，协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。为了描述方便，我们先将三个维度的数据分别赋值： dim1 = mysample(:,1); dim2 = mysample(:,2); dim3 = mysampl...
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