Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

Chenxr32

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分类专栏： C/C++ 文章标签： c语言线性代数

于 2023-05-14 17:00:59 首次发布

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Gauss-Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组Ax=b的方法，它在每次迭代中立即使用新计算的信息。与Jacobi方法不同，Gauss-Seidel在更新每个分量时考虑了前一个分量的最新值。当矩阵A是严格对角占优或不可约对角占优时，该方法收敛。对于Hermite正定矩阵，Gauss-Seidel迭代法同样保证收敛。文章还提供了一个C语言实现的示例代码来演示算法的应用。

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Gauss-Seidel迭代法

求解线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ ，其中 $\boldsymbol{A}$ 是 $n\times n$ 维可逆系数矩阵， $\boldsymbol{b}$ 是 $n$ 维列向量。
Gauss-Seidel迭代法和Jacobi迭代法的区别在于，Gauss-Seidel迭代法一旦获得新信息便立即利用。比如，先计算 $x_1$ 的新迭代值 $x_1^{(k+1)}=\frac{1}{a_{11}} (b_1 - \sum_{j=2}^{n}{a_{1j}x_j^{(k)}})，$ 在后面计算 $x_i^{(k+1)}$ 时就用 $x_1^{(k+1)}$ 替代 $x_1^{(k)}$ 。Gauss-Seidel迭代法的分量形式为 $x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}} (b_i - \sum_{j=1}^{i-1}{a_{ij}x_j^{(k+1)}}-\sum_{j=i+1}^{n}{a_{ij}x_j^{(k)}})。$ 沿用Jacobi迭代法中的符号，Gauss-Seidel迭代法的矩阵表示为 $\boldsymbol{x}^{(k+1)}=-(\boldsymbol{D+L})^{-1}\boldsymbol{U}\boldsymbol{x}^{(k)}+(\boldsymbol{D+L})^{-1}\boldsymbol{b}。$ 定理1：若 $\boldsymbol{A}$ 为严格对角占优，或不可约对角占优矩阵，则Gauss-Seidel迭代法收敛。
定理2：若 $\boldsymbol{A}$ 为Hermite正定矩阵，则Gauss-Seidel迭代法收敛。

C语言实现Gauss-Seidel迭代法

void gauss_seidel(const Matrix *A, const Matrix *b, Matrix *x, const int it)
{
	double tmp = 0;
	int r = 0, c = 0;
	for (int k = 0; k < it; k++)
	{
		for (r = 0; r < x->row; r++)
		{
			tmp = 0;
			for (c = 0; c < A->column; c++)
			{
				if (c != r)
					tmp += A->data[r * (A->column) + c] * x->data[c];
			}
			x->data[r] = (b->data[r] - tmp) / (A->data[r * (A->column) + r]);
		}
	}
}