Jacobi迭代法求解线性方程组

Jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组Ax=b的技术,其中A是n×n的可逆矩阵。方法涉及到将矩阵A分解为D(对角部分)、L(下三角)和U(上三角)。迭代公式表示为x(k+1)=D^(-1)(b-Dx(k)),收敛条件是迭代矩阵的谱半径小于1。当A为严格对角占优或不可约对角占优时,该方法收敛。文章还给出了C语言实现Jacobi迭代法的代码示例。

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Jacobi迭代法

  求解线性方程组 Ax=b\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}Ax=b,其中A\boldsymbol{A}An×nn\times nn×n维可逆系数矩阵,b\boldsymbol{b}bnnn维列向量。
  将系数矩阵A\boldsymbol{A}A分裂为 A=D+L+U,\boldsymbol{A}=\boldsymbol{D}+\boldsymbol{L}+\boldsymbol{U},A=D+L+U 其中,D=diag(a11,a22,⋯ ,ann),\boldsymbol{D}=\text {diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}),D=diag(a11,a22,,ann) L=[000⋯0a2100⋯0a31a320⋯0⋮⋮⋱⋱⋮an1an2⋯an,n−10],U=[0a12a13⋯a1n00a23⋯a2n⋮⋮⋱⋱⋮00⋯0an−1,n00⋯00]。\boldsymbol{L}= \begin{bmatrix} 0&0&0&\cdots&0 \\ a_{21}&0&0&\cdots&0 \\ a_{31}&a_{32}&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n,n-1}&0 \end{bmatrix}, \boldsymbol{U}= \begin{bmatrix} 0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ 0&0&a_{23}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\cdots&0&a_{n-1,n}\\ 0&0&\cdots&0&0 \end{bmatrix}。L=0a21a31an100a32an2000an,n10000U=0000a12000a13a2300a1na2nan1,n0 Jacobi迭代法的矩阵表示为 x(k+1)=−D−1(L+U)x(k)+D−1b,\boldsymbol{x}^{(k+1)}=-\boldsymbol{D}^{-1}(\boldsymbol{L+U})\boldsymbol{x}^{(k)}+\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{b},x(k+1)=D1(L+U)x(k)+D1b其中,−D−1(L+U)-\boldsymbol{D}^{-1}(\boldsymbol{L+U})D1(L+U)被称为迭代矩阵。上述矩阵表示可以展开成分量形式 xi(k+1)=1aii(bi−∑j≠iaijxj(k))。x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}} (b_i - \sum_{j\neq i}{a_{ij}x_j^{(k)}})。xi(k+1)=aii1(bij=iaijxj(k))   定理1:迭代法对任意初始向量x(0)\boldsymbol{x}^{(0)}x(0)都收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。
  定理2:若A\boldsymbol{A}A为严格对角占优,或不可约对角占优矩阵,则Jacobi迭代法收敛。

C语言实现Jacobi迭代法

void jacobi(const Matrix *A, const Matrix *b, Matrix *x, const int it)
{
	double tmp = 0;
	int r = 0, c = 0;
	double *x_tmp = (double *)malloc(sizeof(double) * x->row);
	for (int k = 0; k < it; k++)
	{
		for (r = 0; r < A->row; r++)
		{
			tmp = 0;
			for (c = 0; c < A->column; c++)
			{
				if (c != r)
					tmp += A->data[r * (A->column) + c] * x->data[c];
			}
			x_tmp[r] = (b->data[r] - tmp) / (A->data[r * (A->column) + r]);
		}
		memcpy(x->data, x_tmp, sizeof(double) * x->row);
	}
	free(x_tmp);
}
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