047多子样补偿算法叉乘积简化

对比秦书和严讲义中的圆锥误差补偿项可知，两本书的补偿略有不同。究其原因，讲义是在秦书的公式基础上对叉乘项进行简化得到的。先将讲义中的说明部分拷贝一下，如图：

什么意思呢？以三子样算法为例，秦书中的补偿项为：

$$\frac{9}{20}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_3+\frac{27}{40}\Delta {\theta }_2\times (\Delta {\theta }_3-\Delta {\theta }_1)$$
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$$\frac{9}{20}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_3+\frac{27}{40}\Delta {\theta }_2\times \Delta {\theta }_3-\frac{27}{40}\Delta {\theta }_2\times \Delta {\theta }_1\text{\hspace{1em}(1)}$$
严讲义中的公式应为：
$$\frac{9}{20}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_3+\frac{27}{20}\Delta {\theta }_2\times \Delta {\theta }_3\text{\hspace{1em}(2)}$$
按照讲义中的简化方法，因为$\Delta {\theta }_2\times \Delta {\theta }_3=\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_2$，因此可将公式(1)简化为：
$$\begin{array}{rl}(1)& =\frac{9}{20}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_3+\frac{27}{40}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_2-\frac{27}{40}\Delta {\theta }_2\times \Delta {\theta }_1\\ & =\frac{9}{20}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_3+\frac{27}{40}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_2+\frac{27}{40}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_2\\ & =\frac{9}{20}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_3+\frac{27}{20}\Delta {\theta }_1\times \Delta {\theta }_2\\ & =(2)\end{array}$$

那么这种简化可靠吗？公式(2.6-22)已经说明叉乘积的xy轴分量随时间正弦波动，z轴分量不随时间变化，只与子样数的间隔有关，下面进行简单的证明。

clear
clc
i = 1;
j = 2;
phi = 1 * pi / 180;
w = 2 * pi;
h = 0.03;
lammda = w*h;
t = 10;
for k=1:1000
    theta(k,:) = [(i-j)*(phi*lammda)^3*sin(w*(t+(i+j-1)/2*h));
        (i-j)*(phi*lammda)^3*cos(w*(t+(i+j-1)/2*h));
        -4*sin(phi)*sin(phi)*sin(lammda)*sin(lammda)*sin((i-j)*lammda)];
    i = i+1;
    j = j+1;
end
tt=1:k;
figure
plot(tt, theta(:,1));
hold on
plot(tt, theta(:,2));
figure
plot(tt, theta(:,3));
axis([1 1000 0 1e-5]);

得到图像：

前一张图是xy分量随时间变化，后一张图看得出z轴分量不随时间变化，为固定值，故可以进行这样的简化。