来自yuzan1830的挑战（二）

最新推荐文章于 2019-08-31 01:33:53 发布

翞达羌

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分类专栏：记事库

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本文介绍了一种在正方形和正六边形网格上计算射线穿过点数的算法，通过坐标转换和距离计算，实现了高效查询。特别讨论了如何在不同形状的网格中确定点坐标和邻接距离。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

社会我赞哥

说在前面

今天，也就是公元2019年6月28日，时隔两个月，多才多艺的yuzan1830又给本蒟蒻出新题了。（篇幅略长，慎入。）

他先在纸上画了一个半径为 $1$ 的圆，圆心标为 $A_1$ 。

然后他在 $⊙A1\odot A_1$ 上继续以 $1$ 为半径接连作了六个圆，依次标为 $B1,B2,…,B6B_1,B_2,\dots,B_6$ 。

他发现 $B$ 这一层的圆出现了新的交点。于是他以这些交点为圆心继续画圆。

他发现 $C$ 这一层的圆又出现了新的交点。于是他以这些交点为圆心继续画圆。

达羌：。。。你们自己理解就行了，我不画了！

直到某个时刻，他发现自己的纸已经画不下这么多圆了。
但他想象自己能从 $A$ 一直画到 $Z$ ，甚至，从 $A_1$ 开始向外画 $10000$ 层。

现在yuzan1830画了 $n$ 层圆（不包括 $A_1$ ）。然后他每次给出形如 $N_a,M_b$ 的两个点，问射线 $N_aM_b$ 一共经过了纸上的多少个点。
例如 $n = 2$ ，射线 $C_1B_1$ 经过了 $C_1,B_1,A_1,B_4,C_7$ 五个点； $n = 3$ ，射线 $D_1B_2$ 经过了 $D_1,B_2,D_8$ 三个点。

接受挑战

在yuzan1830的指引下，本蒟蒻勉强能够领会图中形成的规整的六边形的美。但是六边形太难了，本人思考了一下正方形的情况。
这么多点当然建系最优秀了。

达羌：。。。正方形还是比较好画的。

问题来了，为什么要把这个正方形斜过来？
因为这样的话属于同一层的点到原点的曼哈顿距离相等，便于点的名称和坐标之间的对应。
假设已知两点的坐标 $x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，以图中 $D_1(0,3),D_5(2,-1)$ 为例。
下面考虑求以这两点为端点的线段上的点的个数。
很明显这条线段上的点是等距的，则点的个数 $=$ 线段长度 $÷\div$ 相邻两点间的距离（下文简称为邻接距离） $+ 1$ 。

如上图， $D_1,D_5$ 的距离可表示为 $Δx+Δy=2+4\Delta x+\Delta y=2+4$ 。保持斜率 $k=ΔyΔx=42k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac 42$ 不变，将 $Δx,Δy\Delta x,\Delta y$ 同时减半，得到一个更短的距离 $1 + 2$ 。这个距离实际上就是 $D_1,C_2$ 或 $C_2,D_5$ 的距离。
由于点的坐标全部是整数，故可以将 $Δx,Δy\Delta x,\Delta y$ 等比例缩小，当 $gcd(Δx,Δy)=1gcd(\Delta x,\Delta y)=1$ 时，得到的距离 $Δx+Δy\Delta x+\Delta y$ 即为邻接距离。

问题来了，这个距离求的是线段上的点。求射线上的点怎么办？
延长线段就好了。只需求出终点的位置。可以根据 ${∣x∣+y⩽n∣x∣−y⩽n\begin{cases}|x|+y\leqslant n\\|x|-y\leqslant n\end{cases}$ 来计算。

最后一个问题，人家给的是 $N_a,M_b$ ，怎么把它转换成坐标？
不妨设 $N_a$ 在第 $n_0$ 层，则坐标 $(x, y)$ 一定满足 $x|+|y|=n_0$ 。

考虑 $y$ 轴正半轴与第一象限组成的区域，通过观察不难发现这个区域中第 $n_0$ 层的点包括 $N1,N2,…,Nn0N_1,N_2,\dots,N_{n_0}$ ，且横坐标顺时针递增。
同理， $x$ 轴正半轴与第四象限组成的区域中的点包括 $Nn0+1,Nn0+2,⋯ ,N2n0N_{n_0+1},N_{n_0+2},\cdots,N_{2n_0}$ ，且横坐标顺时针递减。
$y$ 轴负半轴与第三象限组成的区域中的点包括 $N2n0+1,N2n0+2,⋯ ,N3n0N_{2n_0+1},N_{2n_0+2},\cdots,N_{3n_0}$ ，且横坐标顺时针递减。
$x$ 轴负半轴与第二象限组成的区域中的点包括 $N3n0+1,N3n0+2,⋯ ,N4n0N_{3n_0+1},N_{3n_0+2},\cdots,N_{4n_0}$ ，且横坐标顺时针递增。
于是通过推算得出结论：
$Na{(a−1,n0−a+1)0<a⩽n0(2n0−a+1,n0−a+1)n0<a⩽2n0(2n0−a+1,−3n0+a−1)2n0<a⩽3n0(−4n0+a−1,−3n0+a−1)3n0<a⩽4n0N_a\begin{cases} (a-1,n_0-a+1)&0<a\leqslant n_0\\ (2n_0-a+1,n_0-a+1)&n_0<a\leqslant 2n_0\\ (2n_0-a+1,-3n_0+a-1)&2n_0<a\leqslant 3n_0\\ (-4n_0+a-1,-3n_0+a-1)&3n_0<a\leqslant 4n_0 \end{cases}$

至此，问题就解决了。
每次询问的时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ，因为求单位距离时用到了 $g c d$ ，而其他部分的时间复杂度均为常数。

说在后面

其实正六边形的情况已经具有普遍性了。只需改变一下旋转角，理论上可以普及到任意正多边形。不过实现起来没有正六边形这么方便。果然正六边形还是最美的啊。
值得一提的是，前面正四边形的做法虽然有些投机取巧，但是整个计算过程中没有涉及浮点数。
yuzan1830正等待着本蒟蒻写出代码。他太天真了！

继续说在后面

2019年7月12日
后来还是花了点时间捣鼓出来了两段代码。
由于原题是正六边形，本人在处理正四边形的情况的时候只保证理论可行，而并没有仔细去考虑如何实现，毕竟问题的重心在正六边形的情况上。这导致一些具体过程在正六边形的情况中才得以铺开。关于正四边形的具体实现可以参考下面的代码。
另外正四边形的做法不涉及浮点数的说法也不准确，因为延长线段要解不等式。虽然可以用整除代替，但实现起来太麻烦。

说明一下输入格式：
第一行为一个整数 $n$ ，表示在 $A_1$ 的基础上向外画了 $n$ 层圆。由于层数可达到 $10000$ ，无法用字母表示，故用数字表示层数， $A_1$ 位于第 $0$ 层， $B_1$ 位于第 $1$ 层，以此类推。
接下来若干行，每行中n1-a1 to n2-b2表示询问射线 $P Q$ 经过的点的个数，其中 $P$ 是第 $n_1$ 层第 $a_1$ 个点， $Q$ 是第 $n_2$ 层第 $a_2$ 个点。输入保证合法。

正四边形

样例输入
3
3-1 to 3-5
3-1 to 2-2
2-7 to 2-4
1-3 to 1-1

样例输出
3
3
2
5

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
const double EPS=1e-6;
// point: 坐标系中的点
struct point{
  int x,y;
  point(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}
  // dist(a,b): 点a,b的曼哈顿距离 
  friend int dist(point a,point b){
    return abs(a.x-b.x)+abs(a.y-b.y);
  }
  // convec(p1,p2): 与p1p2共线的邻接向量 
  friend point convec(point p1,point p2){
    int dx=p2.x-p1.x,dy=p2.y-p1.y,gcd=__gcd(abs(dx),abs(dy));
    return point(dx/gcd,dy/gcd);
  }
};
// coord(n0,a): 第n0层第a个点的坐标 
// coord(n0,a) = (a-1,n0-a+1)           0<a<=n0
// coord(n0,a) = (2n0-a+1,n0-a+1)      n0<a<=2n0
// coord(n0,a) = (2n0-a+1,-3n0+a-1)   2n0<a<=3n0
// coord(n0,a) = (-4n0+a-1,-3n0+a-1)  3n0<a<=4n0 
point coord(int n0,int a){
  if(!n0)return point(0,0);
  if(a<=n0)return point(a-1,n0-a+1);
  if(a<=2*n0)return point(2*n0-a+1,n0-a+1);
  if(a<=3*n0)return point(2*n0-a+1,-3*n0+a-1);
  return point(-4*n0+a-1,-3*n0+a-1);
}
// extend(p1,p2,n): 延长p1p2使之不超过第n层,返回cnt
// d = convec(p1,p2)
// |p2.x+cnt*d.x|+(p2.y+cnt*d.y) <= n
// |p2.x+cnt*d.x|-(p2.y+cnt*d.y) <= n
int extend(point p1,point p2,int n){
  point d=convec(p1,p2);
  double t1=INF,b1=-INF,t2=INF,b2=-INF;
  int cnt=INF;
  if(d.x+d.y){
    t1=(double)(n-p2.x-p2.y)/(d.x+d.y);
    b1=(double)(-n-p2.x-p2.y)/(d.x+d.y);
  }
  if(d.x-d.y){
    t2=(double)(n-p2.x+p2.y)/(d.x-d.y);
    b2=(double)(-n-p2.x+p2.y)/(d.x-d.y);
  }
  if(d.x+d.y<0)swap(b1,t1);
  if(d.x-d.y<0)swap(b2,t2);
  if(b1-EPS<t1)cnt=min(cnt,(int)floor(t1+EPS));
  if(b2-EPS<t2)cnt=min(cnt,(int)floor(t2+EPS));
  return max(cnt,0);
}
// ans = gcd(p1p2.x,p1p2.y)+cnt+1
int main(){
  int n,n1,a1,n2,a2;
  scanf("%d",&n);
  while(scanf("%d-%d to %d-%d",&n1,&a1,&n2,&a2)==4){
    point p1=coord(n1,a1),p2=coord(n2,a2);
    printf("%d\n",__gcd(abs(p1.x-p2.x),abs(p1.y-p2.y))+extend(p1,p2,n)+1);
  }
  return 0;
}

正六边形

样例输入
3
3-1 to 1-2
0-1 to 2-5
2-2 to 2-3

样例输出
3
4
3

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
const double EPS=1e-6;
const double PI=acos(-1);
const double sin60=sin(PI/3);
const double cos60=cos(PI/3);
const double tan60=tan(PI/3);
// double_to_int: 万恶的浮点数误差 
int double_to_int(double x){
  if(x>0)x+=EPS;else x-=EPS;
  return (int)x;
}
// point: 坐标系中的点
struct point{
  double x,y;
  point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
  // dist(a,b): 点a,b的欧几里得距离 
  friend double dist(point a,point b){
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
  }
  // convec(p1,p2): 与p1p2同向的邻接向量 
  // p+q*cos60 = p2.x-p1.x
  //   q*sin60 = p2.y-p1.y
  // d = (p2-p1)/gcd(p,q)
  friend point convec(point p1,point p2){
    int p=double_to_int(p2.x-p1.x-(p2.y-p1.y)/tan60);
    int q=double_to_int((p2.y-p1.y)/sin60);
    int gcd=__gcd(abs(p),abs(q));
    return point((p2.x-p1.x)/gcd,(p2.y-p1.y)/gcd);
  }
};
// coord(n0,a): 第n0层第a个点的坐标 
//   r^2 = n0^2+(a-1 mod n0)^2-2*n0(a-1 mod n)cos60
// theta = [(a-1)/n0](PI/3)+acos((n0-(a-1 mod n0)cos60)/r)
// coord(n0,a) = (r*cos(PI*2/3-theta),r*sin(PI*2/3-theta))
point coord(int n0,int a){
  if(!n0)return point(0,0);
  int left=(a-1)%n0;
  double r=sqrt(n0*n0+left*left-2*n0*left*cos60);
  double theta=floor((a-1)/n0)*(PI/3)+acos((n0-left*cos60)/r);
  return point(r*cos(PI*2/3-theta),r*sin(PI*2/3-theta));
}
// extend(p1,p2,n): 延长p1p2使之不超过第n层,返回cnt
// d = convec(p1,p2)
// |(p2.x+cnt*d.x)tan60-(p2.y+cnt*d.y)| <= n*tan60
// |(p2.x+cnt*d.x)tan60+(p2.y+cnt*d.y)| <= n*tan60
//                       |p2.y+cnt*d.y| <= n*sin60
int extend(point p1,point p2,int n){
  point d=convec(p1,p2);
  double t1=INF,b1=-INF,t2=INF,b2=-INF,t3=INF,b3=-INF;
  int cnt=INF;
  if(fabs(d.x*tan60-d.y)>EPS){
    t1=(n*tan60-p2.x*tan60+p2.y)/(d.x*tan60-d.y);
    b1=(-n*tan60-p2.x*tan60+p2.y)/(d.x*tan60-d.y);
  }
  if(fabs(d.x*tan60+d.y)>EPS){
    t2=(n*tan60-p2.x*tan60-p2.y)/(d.x*tan60+d.y);
    b2=(-n*tan60-p2.x*tan60-p2.y)/(d.x*tan60+d.y);
  }
  if(fabs(d.y)>EPS){
    t3=(n*sin60-p2.y)/d.y;
    b3=(-n*sin60-p2.y)/d.y;
  }
  if(d.x*tan60-d.y<-EPS)swap(b1,t1);
  if(d.x*tan60+d.y<-EPS)swap(b2,t2);
  if(d.y<-EPS)swap(t3,b3);
  if(b1-EPS<t1)cnt=min(cnt,(int)floor(t1+EPS));
  if(b2-EPS<t2)cnt=min(cnt,(int)floor(t2+EPS));
  if(b3-EPS<t3)cnt=min(cnt,(int)floor(t3+EPS));
  return max(cnt,0);
}
// ans = gcd(p,q)+cnt+1
int main(){
  int n,n1,a1,n2,a2;
  scanf("%d",&n);
  while(scanf("%d-%d to %d-%d",&n1,&a1,&n2,&a2)==4){
    point p1=coord(n1,a1),p2=coord(n2,a2);
    int p=double_to_int(p2.x-p1.x-(p2.y-p1.y)/tan60+EPS);
    int q=double_to_int((p2.y-p1.y)/sin60+EPS);
    printf("%d\n",__gcd(abs(p),abs(q))+extend(p1,p2,n)+1);
  }
  return 0;
}