傅里叶级数

设 $f(x)$ 是定义在 $[-l,l]$ 上的实函数，证明：

$$\frac{1}{l}{\int }_{-l}^l{\left[f(x)-\frac{a_0}{2}-\sum _{n=1}^N\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right]}^2\text{d}x\le \frac{1}{l}{\int }_{-l}^l{\left[f(x)-\frac{A_0}{2}-\sum _{n=1}^N\left(A_n\cos \frac{n\pi x}{l}+B_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right]}^2\text{d}x$$

其中 $a_n,b_n$ 是 $f(x)$ 的傅里叶系数， $A_n,B_n$ 是任意常数。上式当且仅当 $A_n=a_n,B_n=b_n$ 时等号成立。

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记

$$\begin{array}{rl}{S}_N(x)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\\ T_N(x)& =\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N\left(A_n\cos \frac{n\pi x}{l}+B_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\end{array}$$

对于 $[-l,l]$ 上的全体连续函数，定义内积

$$(f(x),g(x))=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)g(x)\text{d}x$$

则原不等式即为

$$\Vert f(x)-S_N(x)){\Vert }^2\le \Vert f(x)-T_N(x){\Vert }^2$$

并且根据傅里叶系数的计算式，有

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\text{d}x=\left(f(x),\cos \frac{n\pi x}{l}\right)\\ b_n& =\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\text{d}x=\left(f(x),\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\end{array}$$

可以证明三角函数系 $\left\{1,\cos \frac{n\pi x}{l},\sin \frac{n\pi x}{l}\right\}(n=1,2,\cdots ,N)$ 在定义的内积下两两正交，且 $1$ 的模为 $2$ ， $\cos \frac{n\pi x}{l},\sin \frac{n\pi x}{l}$ 的模均为 $1$ 。因此有

$$\begin{array}{rl}(f(x),T_N(x))& =\left(f(x),\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N\left(A_n\cos \frac{n\pi x}{l}+B_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right)\\ & =\frac{A_0}{2}(f(x),1)+\sum _{n=1}^N\left[A_n\left(f(x),\cos \frac{n\pi x}{l}\right)+B_n\left(f(x),\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right]\\ & =\frac{A_0{a}_0}{2}+\sum _{n=1}^N(A_n{a}_n+B_n{b}_n)\\ (f(x),S_N(x))& =\left(f(x),\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right)\\ & =\frac{a_0}{2}(f(x),1)+\sum _{n=1}^N\left[a_n\left(f(x),\cos \frac{n\pi x}{l}\right)+b_n\left(f(x),\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right]\\ & =\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^N\left(a_n^2+b_n^2\right)\\ (S_N(x),T_N(x))& =\left(\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right),\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N\left(A_n\cos \frac{n\pi x}{l}+B_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right)\\ & =\frac{A_0{a}_0}{4}(1,1)+\sum _{n=1}^N\left[A_n{a}_n\left(\cos \frac{n\pi x}{l},\cos \frac{n\pi x}{l}\right)+B_n{b}_n\left(\sin \frac{n\pi x}{l},\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right]\\ & =\frac{A_0{a}_0}{2}+\sum _{n=1}^N(A_n{a}_n+B_n{b}_n)\\ (S_N(x),S_N(x))& =\left(\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right),\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right)\\ & =\frac{a_0^2}{4}(1,1)+\sum _{n=1}^N\left[a_n^2\left(\cos \frac{n\pi x}{l},\cos \frac{n\pi x}{l}\right)+b_n^2\left(\sin \frac{n\pi x}{l},\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\right]\\ & =\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^N\left(a_n^2+b_n^2\right)\end{array}$$

可以发现 $(f(x),T_N(x))=(S_N(x),T_N(x)),(f(x),S_N(x))=(S_N(x),S_N(x))$ ，故

$$\begin{array}{rl}& (f(x)-S_N(x),S_N(x)-T_N(x))\\ =& (f(x),S_N(x))-(f(x),T_N(x))-(S_N(x),S_N(x))+(S_N(x),T_N(x))\\ =& 0\end{array}$$

因此 $f(x)-S_N(x)$ 与 $S_N(x)-T_N(x)$ 正交。由勾股定理得

$$\begin{array}{rl}\Vert f(x)-T_N(x){\Vert }^2& =\Vert (f(x)-S_N(x))+(S_N(x)-T_N(x)){\Vert }^2\\ & =\Vert f(x)-S_N(x){\Vert }^2+\Vert S_N(x)-T_N(x){\Vert }^2\\ & \ge \Vert f(x)-S_N(x){\Vert }^2\end{array}$$

当且仅当 $\Vert S_N(x)-T_N(x){\Vert }^2=0$ ，即 $S_N(x)=T_N(x)$ ，也即 $A_n=a_n,B_n=b_n$ 时等号成立。