向量的反对称矩阵算子的反交换性

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#反对称矩阵 #李代数

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本文探讨了两个三维向量之间的特殊运算性质，通过构建反对称矩阵的方式验证了一个有趣的等式：a^b等于-b^a（仅考虑数值部分）。这一性质与向量叉乘的概念紧密相关。

验证 $a^b=−b^a\boldsymbol{a}^\boldsymbol{\hat{}}\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}^\boldsymbol{\hat{}}\boldsymbol{a}$ ，其中
$a=[a1a2a3]T\boldsymbol{a}=[a_{1}\quad a_{2} \quad a_{3}]^\mathrm{T}$
$b=[b1b2b3]T\boldsymbol{b}=[b_{1}\quad b_{2} \quad b_{3}]^\mathrm{T}$
$a^\boldsymbol{a}\hat{}$ 为向量 $a\boldsymbol{a}$ 对应的反对称矩阵，如下：
$a^=[0−a3a2a30−a1−a2a10]\bold{a\hat{}}=\begin{bmatrix} 0&-a_{3}&a_{2}\\ a_{3}&0&-a_{1}\\ -a_{2}&a_{1}&0\\ \end{bmatrix}$

验证性证明如下：
证明：
$a^b=[0−a3a2a30−a1−a2a10][b1b2b3]=[−a3b2+a2b3a3b1−a1b3−a2b1+a1b2]\begin{aligned} \boldsymbol{a}^\boldsymbol{\hat{}}\boldsymbol{b} &= \begin{bmatrix} 0&-a_{3}&a_{2}\\ a_{3}&0&-a_{1}\\ -a_{2}&a_{1}&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -a_{3}b_{2}+a_{2}b_{3}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ -a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}\\ \end{bmatrix} \end{aligned}$

$b^a=[0−b3b2b30−b1−b2b10][a1a2a3]=[−a2b3+a3b2a1b3−a3b1−a1b2+a2b1]\begin{aligned} \boldsymbol{b}^\boldsymbol{\hat{}}\boldsymbol{a} &= \begin{bmatrix} 0&-b_{3}&b_{2}\\ b_{3}&0&-b_{1}\\ -b_{2}&b_{1}&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}\\ a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}\\ -a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\ \end{bmatrix} \end{aligned}$