四元数如何用于 3D 旋转（代替欧拉角和旋转矩阵）【ESP32指向鼠标】

四元数如何用于 3D 旋转（代替欧拉角和旋转矩阵）

在三维空间中，物体的旋转可以用 欧拉角、旋转矩阵 或 四元数 来表示。
四元数相比于欧拉角和旋转矩阵有 计算更高效、避免万向锁、存储占用少 等优点，因此广泛用于 游戏开发、机器人学、计算机图形学和航空航天 等领域。

四元数的定义

一个四元数 q 由四个实数组成：
$$q=w+xi+yj+zk$$
其中：w,x,y,z 是实数；i,j,k 是虚单位，满足特定的乘法规则

旋转的基本表示方式

方式	表示方法	优缺点
欧拉角（Euler Angles）	(α,β,γ) 对应绕 X, Y, Z 轴的旋转	优点：直观易理解，和现实生活的旋转方式类似。缺点：存在万向锁（Gimbal Lock）问题，计算复杂。
旋转矩阵（Rotation Matrix）	3×3 矩阵	优点：适用于线性代数计算，方便复合旋转。缺点：需要存储 9 个值，数值误差累积会导致非正交性。
四元数（Quaternion）	q=w+xi+yj+zk	优点：旋转计算简单，存储更紧凑（只需要 4 个数），避免万向锁，插值平滑。缺点：不直观，不容易手动调整。

旋转四元数的定义

一个 旋转四元数q 表示围绕单位向量 (x,y,z) 旋转角度 θ 的旋转：
$$q=\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})$$
或写成向量形式：
$$q=(\cos \frac{\theta }{2},x\sin \frac{\theta }{2}$$