旋转中的四元数

最新推荐文章于 2025-06-03 17:45:06 发布

Stone-Guo

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分类专栏：开发文章标签：四元数旋转

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本文详细介绍了四元数在解决三维空间旋转问题中的作用，包括四元数的基本形式、物理意义，特别是单位四元数在旋转表示中的优势。文章还探讨了四元数的数学运算，如点乘、乘法、共轭和逆，并阐述了如何使用四元数进行旋转、四元数转矩阵、插值和求平均值。四元数的球面线性插值（Slerp）被用来实现平滑的旋转过渡，同时提到了处理四元数平均值时需要注意的问题。

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旋转问题中的四元数

介绍

四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的超复数，由1个实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成。

形式

基本形式： $\textbf{q}=(w,x,y,z)=w+xi+yj+zk$ ，其中 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$
纯四元数： $\textbf{q}=(0,x,y,z)$ ，
单位四元数： $\textbf{q}=(w,x,y,z)$ ，其中 ${w}^2 + {x}^2 + {y}^2 + {z}^2 = 1$ .

物理意义

四元数的解决了旋转中2个问题：
（1）纯四元数表示三维空间里的点；
（2）单位四元数表示三维空间的旋转。

单位四元数（Unit quaternion）

用于解决三维空间里的旋转问题，它与三维正交矩阵和欧拉角是等价的。在笛卡尔坐标系中，绕轴 ${\vec {u}}=(u_{x},u_{y},u_{z})=u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k}$ 旋转 $θ$ 角度，四元数的欧拉公式表示为：

q = e \frac{θ}{2} (u_{x} i + u_{y} j + u_{z} k) = \cos \frac{θ}{2} + (u_{x} i + u_{y} j + u_{z} k) \sin \frac{θ}{2}

$\mathbf {q} =e{{\frac {\theta }{2}}{(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}$

优点：避免了欧拉角表示法中的万向锁问题；比起三维正交矩阵表示，四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角；计算量小。