旋转中的四元数

本文详细介绍了四元数在解决三维空间旋转问题中的作用,包括四元数的基本形式、物理意义,特别是单位四元数在旋转表示中的优势。文章还探讨了四元数的数学运算,如点乘、乘法、共轭和逆,并阐述了如何使用四元数进行旋转、四元数转矩阵、插值和求平均值。四元数的球面线性插值(Slerp)被用来实现平滑的旋转过渡,同时提到了处理四元数平均值时需要注意的问题。

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旋转问题中的四元数

介绍

四元数(Quaternions)是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865)在1843年发明的超复数,由1个实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成。

形式

基本形式: q=(w,x,y,z)=w+xi+yj+zk q = ( w , x , y , z ) = w + x i + y j + z k ,其中 i2=j2=k2=ijk=1 i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1
纯四元数: q=(0,x,y,z) q = ( 0 , x , y , z )
单位四元数: q=(w,x,y,z) q = ( w , x , y , z ) ,其中 w2+x2+y2+z2=1 w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

物理意义

四元数的解决了旋转中2个问题:
(1)纯四元数表示三维空间里的点;
(2)单位四元数表示三维空间的旋转。

单位四元数(Unit quaternion)

用于解决三维空间里的旋转问题,它与三维正交矩阵和欧拉角是等价的。在笛卡尔坐标系中,绕轴 u⃗ =(ux,uy,uz)=uxi+uyj+uzk u → = ( u x , u y , u z ) = u x i + u y j + u z k 旋转 θ θ 角度,四元数的欧拉公式表示为:

q = e θ 2 ( u x i + u y j + u z k ) = cos θ 2 + ( u x i + u y j + u z k ) sin θ 2

优点:避免了欧拉角表示法中的万向锁问题;比起三维正交矩阵表示,四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角;计算量小。



纯四元数(real quaternion)

笛卡尔坐标系中的点 p=(px,py,pz) p = ( p x , p y , p z ) , 用 四 元 数 表 示 为 p=(0,px,py,pz)=

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