线性代数：线性组合与线性相关_线性组合和线性相关有什么区别-优快云博客

1、线性组合

对于若干个 $n$ 维向量 $v⃗p\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}$ ，则称 $kp⋅v⃗pk_{1} \cdot \vec v_{1} + \ k_{2} \cdot \vec v_{2} + \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots + \ k_{p} \cdot \vec v_{p}$ （ $k_{i}$ 是一个标量）这种形式为 $一个线性组合\color {red} {\small 一个线性组合}$ 。

如矩阵高斯消元法中，一个行向量加（减） $k$ 倍的的另一个行向量这种操作就是一个线性组合，可以说矩阵中高斯约旦消元的结果的每一行，是原来矩阵各行的一个线性组合。

2、线性相关

对于若干个 $n$ 维向量 $v⃗p\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}$ ，若存在一组 $k$ 不全为0，使得 $kp⋅v⃗p=0k_{1} \cdot \vec v_{1} + \ k_{2} \cdot \vec v_{2} + \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots + \ k_{p} \cdot \vec v_{p} = 0$ ，则称 $v⃗p线性相关\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}\color {red} {\large\textbf{线性相关}}$ 。
换个意思说，线性相关的向量之间不是独立的，其中至少有一个向量可以用其余的向量来线性表示。

如对于 $\cdot \vec r_{1} - \frac {1}{3} \cdot \vec r_{2} + \vec r_{3} = 0$
则有 $r⃗3=2⋅r⃗1+13⋅r⃗2\vec r_{3} = 2 \cdot \vec r_{1} + \frac {1}{3} \cdot \vec r_{2}$ ,意味着 $r⃗3\vec r_{3}$ 可以表示成 $r⃗1\vec r_{1}$ 和 $r⃗2\vec r_{2}$ 的线性组合，所以 $r⃗1,r⃗2,r⃗3\vec r_{1}, \vec r_{2}, \vec r_{3}$ 是线性相关的。

对于命题: 如果 $v⃗n\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{n}$ 线性相关 $⇔\Leftrightarrow$ 其中一个向量可以表示成其它向量的线性组合 ，可证：

因为 $v⃗n\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{n}$ 线性相关，则存在一组不全为0的 $,knk_{1},k_{2},k_{3},\cdots ,k_{n}$ 使得 $kn⋅v⃗p=0k_{1} \cdot \vec v_{1} + \ k_{2} \cdot \vec v_{2} + \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots + \ k_{n} \cdot \vec v_{p} = 0$ 。
设 $ki≠0→ki⋅v⃗i=−k1⋅v⃗1−k2⋅v⃗2−⋯−ki−1⋅v⃗i−1−ki+1⋅v⃗i+1−⋯−kn⋅v⃗nk_{i} \neq 0 \to k_{i} \cdot \vec v_{i} = -k_{1} \cdot \vec v_{1} - k_{2} \cdot \vec v_{2} - \cdots - k_{i-1} \cdot \vec v_{i-1} - k_{i+1} \cdot \vec v_{i+1} - \cdots - k_{n} \cdot \vec v_{n}$
可得 $v⃗i=(−k1⋅v⃗1−k2⋅v⃗2−⋯−ki−1⋅v⃗i−1−ki+1⋅v⃗i+1−⋯−kn⋅v⃗n)/ki\vec v_{i} =(-k_{1} \cdot \vec v_{1} - k_{2} \cdot \vec v_{2} - \cdots - k_{i-1} \cdot \vec v_{i-1} - k_{i+1} \cdot \vec v_{i+1} - \cdots - k_{n} \cdot \vec v_{n}) / k_{i}$ ，满足 $线性组合\color {red} { \small线性组合}$ 的定义。即使等式右侧的 $k$ 全部为0，说明 $v⃗i\vec v_{i}$ 是其它向量是相关，且是它们的0倍。

3、线性无关

对于若干个 $n$ 维向量 $v⃗p\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}$ ，只有 $k$ 全为0时，才有 $kp⋅v⃗p=0k_{1} \cdot \vec v_{1} + \ k_{2} \cdot \vec v_{2} + \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots + \ k_{p} \cdot \vec v_{p} = 0$ ，则称 $v⃗p线性无关\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}\color {red} {\small \textbf{线性无关}}$ 。
线性无关意味着任何一个向量都无法表示为其它向量的线性组合。

在求证线性相关，线性无关的时候，常用反证法

求证 $n$ 维标准单位向量 $,e⃗n=[0,0,0,...,1]\vec e_{1}=[1,0,0,...,0],\vec e_{2}=[0,1,0,...,0],\vec e_{3}=[0,0,1,...,0],\cdots ,\vec e_{n}=[0,0,0,...,1]$ 是一个线性无关组。
反证法证明：
假设 $,e⃗n\vec e_{1},\vec e_{2},\vec e_{3},\cdots ,\vec e_{n}$ 线性相关，则一定存在一组不全为0的k；
使得 $kp⋅e⃗n=0k_{1} \cdot \vec e_{1} + \ k_{2} \cdot \vec e_{2} + \ k_{3} \cdot \vec e_{3} + \cdots + \ k_{p}\cdot \vec e_{n} =0$
假设 $ki≠0k_{i} \neq 0$ , $ki⋅e⃗i=−k1⋅e⃗1−k2⋅e⃗2−⋯−ki−1⋅e⃗i−1−ki+1⋅e⃗i+1−⋯−kn⋅e⃗nk_{i} \cdot \vec e_{i} = -k_{1} \cdot \vec e_{1} - k_{2} \cdot \vec e_{2} - \cdots - k_{i-1} \cdot \vec e_{i-1} - k_{i+1} \cdot \vec e_{i+1} - \cdots - k_{n} \cdot \vec e_{n}$
就有 $ei=(−k1⋅e⃗1−k2⋅e⃗2−⋯−ki−1⋅e⃗i−1−ki+1⋅e⃗i+1−⋯−kn⋅e⃗n)/kie_{i} =( -k_{1} \cdot \vec e_{1} - k_{2} \cdot \vec e_{2} - \cdots - k_{i-1} \cdot \vec e_{i-1} - k_{i+1} \cdot \vec e_{i+1} - \cdots - k_{n} \cdot \vec e_{n})/k_{i}$
$e⃗\vec e$ 向量是一个 $n$ 维向量,上式展开可得
$e⃗i=(−k1/ki,−k2/ki,−⋯−ki−1/ki−,0,ki+1/ki−⋯−kn/ki)\vec e_{i} =( -k_{1} /k_{i} ,- k_{2} /k_{i}, - \cdots - k_{i-1} /k_{i} -,0, k_{i+1} /k_{i} - \cdots - k_{n} /k_{i})$
$∵e⃗i\because \vec e_{i}$ 向量在 $i$ 位置的元素值应为1，与上式计算的 $e⃗i\vec e_{i}$ 在 $i$ 位置的元素为0相矛盾；
$∴\therefore$ 假设不成立，得证 $n$ 维标准单位向量间是一个线性无关组。

4、线性相关的重要性质

性质1 对于m个n维向量， $v⃗m\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{m}$ ，若 $m > n$ ，则 $v⃗m\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{m}$ 线性相关。
$如4个3维向量一定线性相关!\color {skyblue} {\small {如4个3维向量一定线性相关! }}$
证明该命题等价于求证，是否存在一组 $,kmk_{1},k_{2},k_{3},\cdots ,k_{m}$ 不全为0，满足 $km⋅v⃗m=0k_{1} \cdot \vec v_{1} + \ k_{2} \cdot \vec v_{2} + \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots + \ k_{m} \cdot \vec v_{m} = 0$

$∴\therefore$ 对于m个n维向量，肯定会有一组 $k$ 不全为0，满足这m个向量线性相关。

性质2 对于m个n维向量， $v⃗m\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{m}$ ，若 $m = n$ ,且有向量 $v⃗\vec v$ 构成的系数矩阵A可逆的时候，则 $v⃗m\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{m}$ 线性无关。
$∵\because$ 求证向量组 $v⃗\vec v$ 线性无关，等于说求证存在一组常数 $k$ 全为0，使得 $km⋅v⃗m=0k_{1} \cdot \vec v_{1} + \ k_{2} \cdot \vec v_{2} + \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots + \ k_{m} \cdot \vec v_{m} = 0$
等价于求证由向量 $v⃗\vec v$ 和常数 $k$ 组成的齐次线性方程组 $\cdot k =0$ 有唯一解
$∵\because$ 矩阵 $A$ 可逆，就有 $A−1⋅A⋅k=0A^{-1} \cdot A \cdot k = 0$ ,所以常数组 $k$ 一定是0向量， $k$ 只有唯一零解。

$\vec v_{1}, \vec v_{2},\cdots , \vec v_{n})$
$\Leftrightarrow \vec v_{1}, \vec v_{2},\cdots , \vec v_{n}线性无关$

性质3 若向量 $v⃗p\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}$ 中存在零向量，则 $v⃗p\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}$ 线性相关。
从定义出发，线性相关意味着存在一组 $k$ 不全为0，使得 $kp⋅v⃗p=0k_{1} \cdot \vec v_{1} + \ k_{2} \cdot \vec v_{2} + \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots + \ k_{p} \cdot \vec v_{p} = 0$ 。
因为在这个情况下，与零向量 $O$ 相乘的 $k_{i}$ 可以取任意值，哪怕其它 $k$ 的值都为0，也总能存在一组 $k$ 不全为0使得 $kp⋅v⃗p=0k_{1} \cdot \vec v_{1} + \ k_{2} \cdot \vec v_{2} + \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots + \ k_{p} \cdot \vec v_{p} = 0$ ，符合线性相关定义，因为任意一个向量都可以由