线性代数的本质（2）线性组合、张成的空间和基

数学需要的不是天赋，而是少量的自由想象，但相信太过自由又会陷入疯狂。-----A.K.罗杰斯 

一、张成的空间

1.在xy坐标系中，有两个非常特别的向量，一个指向正右方，长度为1，通常被称为“i帽”或者x方向的单位向量，另一个指向正上方，长度为1，通常被称为“j帽”或者y方向的单位向量。

2.现在相信向量（3，-2）的x坐标是一个标量，它将i帽拉伸为原来的3倍，y坐标也是一个标量，它将j帽反向并拉伸为原来的2倍。从这个角度去看，这个向量实际上是两个经过缩放的向量的和。

3.“缩放向量并且相加”这一概念至关重要。被缩放的两个向量i帽和j帽也有特殊的名称。它们合起来被称为坐标系的基。这就是再说，当你把坐标看作标量时，基向量实际上就是这些标量所缩放的对象。

4.我们根据这两个特殊的基向量构建坐标系时，我们完全可以选择不同的基向量，获得一个完全合理的坐标系，所以每当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基。

5.两个向量标量乘法之和的结果被称为这两个向量的线性组合。

6.为什么成为线性呢？如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量的重点会描述出一条直线。

7.如果你让两个标量同时自由变化，考虑所有可能得到的向量，有两种可能，大部分情况下，对于一对初始向量，你能到达平面中的每一个点。但是也有糟糕的情况，当两个初始向量恰好共线时，所产生的向量的重点被限制在一条过原点的直线上。实际上还有第三种可能，两个向量都是零向量，那就乖乖呆在原点。

8.所有可以表示为定向量线性组合的向量集合，被称为给定向量张成的空间。

9.对于大部分二维向量来说，它们张成的空间是所有二维向量的集合，但当共线时，它们张成的空间就是终点落在一条直线上的向量的额集合。

二、向量与点

1.想象将所有二维向量填满平面时，你会觉得非常拥挤，为了对付这种情况，通常我们就用向量的重点代表该向量，而像以往一样，它的起点仍旧位于原点。

2.单个向量看作箭头，多个向量看作点。

三、在三维空间中看张成空间

1.举个例子，在三维空间中取两个指向不同方向的向量，他们张成的空间是什么呢？这两个向量张成的空间就是他们所有可能的线性组合，也就是缩放再相加之后所有可能得到的向量。