线性代数:生成空间

若在二维空间中任何向量,都可以表示为 u⃗\vec uuv⃗\vec vv 的线性组合,则可以说 u⃗\vec uuv⃗\vec vv 生成整个二维空间。

u⃗,v⃗\vec u, \vec vuv生成的二维空间中,如加入一个向量mmm,那么向量组u⃗,v⃗,m⃗\vec u, \vec v, \vec muvm 也可以生成整个二维空间,这个二维空间中,任意一个向量都可以表示为这三个向量的线性组合。由于向量组u⃗,v⃗\vec u, \vec vuv已经生成了整个二维空间, 那么空间内任意一个向量都可以由u⃗,v⃗\vec u, \vec vuv的线性组合所表示,当向量 m⃗\vec mm 加入进来之后,只要向量m⃗\vec mm的组合常数kkk取零,那么u⃗,v⃗,m⃗\vec u, \vec v, \vec muvm 三个向量的线性组合就可以表示任意一个向量,所以说u⃗,v⃗,m⃗\vec u, \vec v, \vec muvm生成整个二维空间。

生成一个二维空间,至少需要两个向量。

  • 如果只有一个向量,如向量v⃗\vec vv,通过一个向量v⃗\vec vv的线性组合获得的向量一定在v⃗\vec vv向量所在的直线上,因为一个向量前面乘以一个系数kkk本质只是在对向量进行缩放。所以一个向量无法生成一个二维的面。
  • 最少肯定也不是3个向量,因为如果已经存在两个向量不共线,那么这第三个向量就可以由前两个向量的线性组合所表示,在这种情况下,第三个向量就已经是多余的了。

推广到空间中,若空间中的任一向量都可以表示成v⃗1, v⃗2, v⃗3,⋯ , v⃗p\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}v1, v2, v3,, vp的线性组合,则称这些向量可以生成这个空间。 要生成一个nnn维空间,至少需要nnn个向量才能够生成。其中,对于nnn个向量,若这nnn个向量存在共线向量,是不可以生成nnn维空间的。

证明:当且仅当由nnnnnn维向量的列向量组成的方阵A有逆的时候,可以生成整个nnn维空间。
nnnnnn维向量v⃗\vec vv生成整个空间,那么对于这nnn个向量v⃗\vec vv的列向量组成的系数矩阵AAAnnn维空间中的任意一个向量u⃗\vec uu组成的线性系统是一定有解的,也就是nnn维空间里的任意向量都可以由生成空间的nnnnnnv⃗\vec vv向量的一个唯一线性组合表示。由于u⃗\vec uu是空间中任意一个向量,所以向量u⃗\vec uu的分量是随机的(uiu_{i}ui可能为是一个非零数),因此线性系统的系数矩阵AAA的行最简形式一定不能存在零行,若存在零行,那么矩阵AAA无解, 向量组v⃗\vec vv的线性组合无法表示空间内的向量u⃗\vec uu
既然系数矩阵AAA的行最简式都是非零行,那么线性系统满足nnn个未知数和nnn个方程,所以线性系统不可能有无穷解,只有有唯一非零解。此时当一个线性系统只有唯一解的时候,意味着对应的增广矩阵的系数矩阵AAA一定是可逆的,因为只有可逆矩阵满足Ax=b→x=A−1bAx=b \to x= A^{-1}bAx=bx=A1b

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