BZOJ 1426: 收集邮票 期望

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Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

HINT

Source

---

题解：

（竟然把女朋友的生日搞忘了，好愧疚，在输COGS的密码的时候才发现）

这道题就先处理一个$f[i]$表示现在有i张邮票，期望买$f[i]$张收集到$n$张邮票

然后一个$g[i]$的含义和$f[i]$差不多，不过是期望的花费，这里花费的计算非常巧妙

首先推一遍$f[i]$

$$f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1$$

是显然的
而

$$g[i]=\frac{i}{n}(g[i]+f[i])+\frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1])+1$$

这是为什么呢？

我们可以这样思考：
想象一个矩阵

这个不是矩阵，好的然后对于这个东西，每一行表示这张邮票期望花多少钱，每次相当于给之后的邮票都加我们期望买的次数，累计起来就是我们的答案（怎么感觉说不清楚呢…），就是说每次我们都累加，第一次就是累加了从右到左第一列的所有数期望花一块钱，之后因为第一张已经不用花钱了，但是第二张到最后一张还会花钱，所以再累加之后的，第一张就不花钱了，大概就是这个意思
如果还不懂的朋友邮箱联系吧

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#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;
double f[10000*2],g[10000*2];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(register int i=n-1;i>=0;i--)f[i]=f[i+1]+(double)n/(double)(n-i); 
    for(register int i=n-1;i>=0;i--)g[i]=(double)i/(double)(n-i)*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+(double)n/(double)(n-i);
    printf("%.2lf",g[0]);
}