【驭风计划 算法训练营】习题1-3：等式、道路升级

等式

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问题描述

有n个变量和m个“相等”或“不相等”的约束条件，请你判定是否存在一种赋值方案满足所有m个约束条件。

输入格式

第一行一个整数T，表示数据组数。

接下来会有T组数据，对于每组数据：

第一行是两个整数n,m，表示变量个数和约束条件的个数。

接下来m行，每行三个整数a,b,e，表示第a个变量和第b个变量的关系：

• 若e=0则表示第a个变量不等于第b个变量；
• 若e=1则表示第a个变量等于第b个变量

输出格式

输出T行，第i行表示第i组数据的答案。若第i组数据存在一种方案则输出"Yes"；否则输出"No"（不包括引号）。

样例1输入

2
5 5
1 2 1
2 3 1
3 4 1
1 4 1
2 5 0
3 3
1 2 1
2 3 1
1 3 0

样例1输出

Yes
No

样例1解释

一共有2组数据。

对于第一组数据，有5个约束：

• 变量1=变量2
• 变量2=变量3
• 变量3=变量4
• 变量1=变量4
• 变量2≠变量5

显然我们可以令：

• 变量1=变量2=变量3=变量4=任意一个数值
• 变量5=任意一个和变量2不同的数值

故第一组数据输出"Yes"。 对于第二组数据，有3个约束：

• 变量1=变量2
• 变量2=变量3
• 变量1≠变量3

由前两个约束可推出变量1=变量3，但第三个约束表明变量1≠变量3，矛盾。

故第二组数据输出"No"。

样例2

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数据范围

对于10%的数据，n,m ≤ 5，T ≤ 5；

对于50%的数据，n,m ≤ 1000，T ≤ 10；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 300000, m ≤ 500000，1 ≤ a,b ≤ n，T ≤ 100。

保证所有数据的n总和与m总和不超过500000。

时间限制：1 s

空间限制：512 MB

提示

[用并查集来维护相等的集合。]

另外，为了帮助大家完成题目，我们提供了只包含了输入输出功能的程序模板，也提供了含有算法的大部分实现细节的程序。

你可以根据自己的实际情况，在这些程序的基础上进行作答，或不参考这些程序，这将与你的得分无关。

道路升级

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问题描述

Z国有 n 个城市和 m 条双向道路，每条道路连接了两个不同的城市，保证所有城市之间都可以通过这些道路互达。每条道路都有一个载重量限制，这限制了通过这条道路的货车最大的载重量。道路的编号从 1 至 m 。巧合的是，所有道路的载重量限制恰好都与其编号相同。

现在，要挑选出若干条道路，将它们升级成高速公路，并满足如下要求：

• 所有城市之间都可以通过高速公路互达。
• 对于任意两个城市 u,v 和足够聪明的货车司机：只经过高速公路从 u 到达 v 能够装载货物的最大重量，与经过任意道路从 u 到达 v 能够装载货物的最大重量相等。（足够聪明的司机只关注载重量，并不在意绕路）

在上面的前提下，要求选出的道路数目尽可能少。

求需要挑选出哪些道路升级成高速公路（如果有多种方案请任意输出一种）。

输入

第一行 2 个用空格隔开的整数 n,m ，分别表示城市数目、道路数目。

第 2 行到第 m+1 行，每行 2 个用空格隔开的整数 u,v 描述一条从 u 到 v 的双向道路，第 i+1 行的道路的编号为 i 。

注意：数据只保证不存在连接的城市相同的道路（自环），并不保证不存在两条完全相同的边（重边）

输出

第一行一个整数 k ，表示升级成高速公路的道路数。

接下来 k 行每行一个整数，从小到大输出所有选出的道路的编号。

输入样例

3 3
1 2
2 3
1 3

输出样例

2
2
3

数据范围

对于 20% 的数据，保证 n≤5，m≤10。

对于 60% 的数据，保证 n≤1,000，m≤5,000。

对于 100% 的数据，保证 n≤200,000，m≤400,000。

时间限制：10 sec

空间限制：256 MB

提示

[提示1：真的可能有多种方案吗？]

[提示2：k 是否一定为 n-1 呢？（也就是说，选出的道路是否恰好构成了一棵树？）]

[提示3：这道题和最小生成树有什么关系呢？]

另外，为了帮助大家完成题目，我们提供了只包含了输入输出功能的程序模板，也提供了含有算法的大部分实现细节的程序。

你可以根据自己的实际情况，在这些程序的基础上进行作答，或不参考这些程序，这将与你的得分无关。