【驭风计划 算法训练营】习题1-2：数字盒子、重编码、成绩排序

数字盒子

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问题描述

你有一个盒子，你可以往里面放数，也可以从里面取出数。

初始时，盒子是空的，你会依次做 Q 个操作，操作分为两类：

1. 插入操作：询问盒子中是否存在数 x，如果不存在则把数 x 丢到盒子里。
2. 删除操作：询问盒子中是否存在数 x，如果存在则取出 x。

对于每个操作，你需要输出是否成功插入或删除。

输入格式

第一行一个正整数 Q，表示操作个数。

接下来 Q 行依次描述每个操作。每行 2 个用空格隔开的非负整数 op,x 描述一个操作：op 表示操作类型，op=1 则表示这是一个插入操作，op=2 则表示这是一个删除操作；x 的意义与操作类型有关，具体见题目描述。

输出格式

按顺序对所有操作输出，对于每个操作输出一行，如果成功则输出“Succeeded”（不含引号），如果失败则输出“Failed”（不含引号）。

样例输入

6
1 100
1 100
2 100
1 200
2 100
2 200

样例输出

Succeeded
Failed
Succeeded
Succeeded
Failed
Succeeded

数据范围

对于 60% 的数据，保证 x<10^5。

对于 100% 的数据，保证 x<10^18，Q≤5*10^5。

对于所有数据，保证 op∈{1,2}。

时间限制：1 s

空间限制：256 MB

提示

[对于 x 较小的情况，我们只需要用数组记录每个数是否在盒子里即可。]

[对于 x 较大的情况，我们可不可以用什么方法把它们“变小”呢？可以想想哈希表哦！]

另外，为了帮助大家完成题目，我们提供了只包含了输入输出功能的程序模板，也提供了含有算法的大部分实现细节的程序。

你可以根据自己的实际情况，在这些程序的基础上进行作答，或不参考这些程序，这将与你的得分无关。

重编码

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问题描述

有一篇文章，文章包含 nn 种单词，单词的编号从 11 至 nn，第 i 种单词的出现次数为 wiwi。

现在，我们要用一个 2 进制串（即只包含 0 或 1 的串） sisi 来替换第 i 种单词，使其满足如下要求：对于任意的 1≤i,j≤n,i≠j1≤i,j≤n,i≠j，都有 sisi 不是 sjsj 的前缀。（这个要求是为了避免二义性）

你的任务是对每个单词选择合适的 sisi，使得替换后的文章总长度（定义为所有单词出现次数与替换它的二进制串的长度乘积的总和）最小。求这个最小长度。

字符串 S1S1（不妨假设长度为 nn）被称为字符串 S2S2 的前缀，当且仅当：S2S2 的长度不小于 nn，且 S1S1 与 S2S2 前 nn 个字符组组成的字符串完全相同。

输入格式

第一行一个整数 nn，表示单词种数。

第 2 行到第 n+1n+1 行，第 i+1i+1 行包含一个正整数 wiwi，表示第 ii 种单词的出现次数。

输出格式

输出一行一个整数，表示整篇文章重编码后的最短长度。

样例输入

4
1
1
2
2

样例输出

12

样例解释

一种最优方案是令 s1s1=000，s2s2=001，s3s3=01，s4s4=1。这样文章总长即为 1*3+1*3+2*2+1*2=12。

另一种最优方案是令 s1s1=00，s2s2=01，s3s3=10，s4s4=11。这样文章总长也为 12。

数据范围

对于第 1 个测试点，保证 n=3n=3。

对于第 2 个测试点，保证 n=5n=5。

对于第 3 个测试点，保证 n=16n=16，且所有 wiwi 都相等。

对于第 4 个测试点，保证 n=1000n=1000。

对于第 5 个测试点，保证所有 wiwi 都相等。

对于所有的 7 个测试点，保证 2≤n≤1062≤n≤106，wi≤1011wi≤1011。

时间限制：2 sec

空间限制：256 MB

提示

[我们希望越长的串出现次数越少，那么贪心地考虑，让出现次数少的串更长。]

[于是我们先区分出出现次数最少的 2 个串，在它们的开头分别添加 0 和 1。]

[接着，由于它们已经被区分（想一想，为什么？），所以我们可以把它们看作是**一个**单词，且其出现次数为它们的和，然后继续上面的“添数”和“合并”操作。]

[这样，我们不停地“合并单词”，直到只剩 1 个单词，即可结束。]

[可以证明这是最优的。]

[朴素的实现是 O(n2)O(n2) 的，可以用二叉堆或__std::priority_queue__将其优化至 O(nlogn)O(nlogn)。]

另外，为了帮助大家完成题目，我们提供了只包含了输入输出功能的程序模板，也提供了含有算法的大部分实现细节的程序。

你可以根据自己的实际情况，在这些程序的基础上进行作答，或不参考这些程序，这将与你的得分无关。

这些程序可以从【这里】下载。

Source

改编自：【NOI2015】荷马史诗（【NOI2015】荷马史诗 - 题目 - Universal Online Judge）

成绩排序

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问题描述

有 n 名学生，它们的学号分别是 1,2,…,n。这些学生都选修了邓老师的算法训练营、数据结构训练营这两门课程。

学期结束了，所有学生的课程总评都已公布，所有总评分数都是 [0,100] 之间的整数。巧合的是，不存在两位同学，他们这两门课的成绩都完全相同。

邓老师希望将这些所有的学生按这两门课程的总分进行降序排序，特别地，如果两位同学的总分相同，那邓老师希望把算法训练营得分更高的同学排在前面。由于上面提到的巧合，所以，这样排名就可以保证没有并列的同学了。

邓老师将这个排序任务交给了他的助教。可是粗心的助教没有理解邓老师的要求，将所有学生按学号进行了排序。

邓老师希望知道，助教的排序结果中，存在多少逆序对。

如果对于两个学生 (i,j) 而言，i 被排在了 j 前面，并且i 本应被排在 j 的后面，我们就称 (i,j) 是一个逆序对。

请你先帮邓老师把所有学生按正确的顺序进行排名，再告诉他助教的错误排名中逆序对的数目。

输入格式

第一行一个整数 n，表示学生的个数。

第 2 行到第 n+1 行，每行 2 个用空格隔开的非负整数，第 i+1 行的两个数依次表示学号为 i 的同学的算法训练营、数据结构训练营的总评成绩。

输出格式

输出包含 n+1 行。

前 n 行表示正确的排序结果，每行 4 个用空格隔开的整数，第 i 行的数依次表示排名为 i 的同学的学号、总分、算法训练营成绩、数据结构训练营成绩。

第 n+1 行一个整数，表示助教的错误排名中逆序对的数目。

样例输入

3
95 85
90 90
100 99

样例输出

3 199 100 99
1 180 95 85
2 180 90 90
2

样例解释

学号为 3 的同学总分为 199，是最高的，所以他应该排第一名。

学号为 1 的同学虽然总分与学号为 2 的同学一致，但是他的算法训练营成绩更高，所以在排名规则下更胜一筹。

原错误排名中的逆序对数目为 2 ，这些逆序对分别为 (1,3) 和 (2,3)。

数据范围

对于 25% 的数据，保证 n=3。

对于 50% 的数据，保证 n≤10。

对于另外 25% 的数据，保证所有同学的总分两两不同。

对于 100% 的数据，保证 n≤5,000 ，且保证不存在成绩完全相同的学生。

时间限制：10 sec

空间限制：256 MB

提示

[可以使用起泡排序将所有学生进行排名。]

[善良的助教提醒你，在起泡排序的过程中，每次交换都会使逆序对数目减少 1 哦！想一想，为什么？]

[聪明的助教还告诉你，这道题可以设计出时间复杂度为 O(nlogn) 的算法。这会在今后的课程中涉及到。]

另外，为了帮助大家完成题目，我们提供了只包含了输入输出功能的程序模板，也提供了含有算法的大部分实现细节的程序。

你可以根据自己的实际情况，在这些程序的基础上进行作答，或不参考这些程序，这将与你的得分无关。