【电力系统潮流】5节点系统潮流计算-牛拉法和PQ分解法附Matlab代码

最新推荐文章于 2025-12-03 18:56:30 发布

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🔥 内容介绍

一、潮流计算基础与 5 节点系统概述

潮流计算是电力系统分析中最基本、最核心的计算之一，其主要任务是在给定系统网络结构、元件参数以及部分节点运行条件的前提下，求解系统中各节点的电压幅值和相位角，以及各支路的功率流向和损耗，为电力系统的规划设计、运行调度、安全稳定分析等提供重要依据。

在电力系统中，节点通常根据给定的运行条件分为三类：PQ 节点、PV 节点和平衡节点。PQ 节点给定节点的有功功率 P 和无功功率 Q，求解节点电压幅值 U 和相位角 δ；PV 节点给定节点的有功功率 P 和电压幅值 U，求解节点的无功功率 Q 和相位角 δ；平衡节点则给定节点电压幅值 U 和相位角 δ（通常设相位角为 0），求解节点的有功功率 P 和无功功率 Q，其主要作用是平衡系统的有功功率和无功功率损耗。

5 节点电力系统是一种典型的小型电力系统模型，常用于潮流计算方法的教学、研究和验证。该系统通常包含 5 个节点，节点间通过输电线路连接，部分节点可能还连接有发电机和负荷。例如，一个简单的 5 节点系统可能包含 1 个平衡节点（如节点 1）、2 个 PV 节点（如节点 2、3）和 2 个 PQ 节点（如节点 4、5），各节点的发电机和负荷参数、输电线路的阻抗和导纳参数等均为已知条件，通过潮流计算可得到各节点的电压、功率以及各线路的功率分布等关键信息。

二、牛顿 - 拉夫逊法（牛拉法）在 5 节点系统潮流计算中的应用

（一）牛拉法基本原理

牛顿 - 拉夫逊法是一种求解非线性方程组的数值迭代方法，其核心思想是将非线性方程组在某一初始值附近进行泰勒级数展开，并忽略高阶小项，将非线性方程组线性化，得到修正方程，然后通过求解修正方程不断修正迭代变量的值，直到迭代变量的变化量满足预先设定的收敛精度要求为止。

在电力系统潮流计算中，通常以节点的电压相位角 δ 和电压幅值的平方 U²（或电压幅值 U）作为迭代变量。对于 PQ 节点，其有功功率不平衡量 ΔP 和无功功率不平衡量 ΔQ 是迭代变量的函数；对于 PV 节点，其有功功率不平衡量 ΔP 和电压幅值不平衡量 ΔU（或 ΔU²）是迭代变量的函数。通过建立这些不平衡量与迭代变量修正量之间的线性关系（即修正方程），并求解修正方程，逐步修正迭代变量，最终实现潮流计算的收敛。

（二）5 节点系统牛拉法潮流计算步骤

确定系统参数与节点类型

收集 5 节点系统的相关参数，包括各节点的发电机有功功率 Pg、无功功率 Qg（PV 节点给定 Pg 和 U，PQ 节点给定 Pg 和 Qg，平衡节点给定 U 和 δ）、负荷有功功率 Pl、无功功率 Ql；各输电线路的电阻 R、电抗 X（或阻抗 Z）、电纳 B（或导纳 Y）；变压器的变比 k（若系统中包含变压器）等。

明确各节点的类型，指定平衡节点（通常选择具有较大容量发电机的节点，设其电压幅值为 U₀，相位角 δ₀=0）、PV 节点（给定有功功率 P 和电压幅值 U）和 PQ 节点（给定有功功率 P 和无功功率 Q）。

计算节点导纳矩阵 Y

节点导纳矩阵 Y 是潮流计算中的重要矩阵，其元素 Yij 表示节点 j 对节点 i 的互导纳，Yii 表示节点 i 的自导纳。

自导纳 Yii 的计算：Yii = ΣYij（j=1 到 n，j≠i） + 节点 i 的对地导纳（若节点 i 接有对地电容等元件），其中 Yij = 1/Zij（Zij 为节点 i 与节点 j 之间的线路阻抗）。

互导纳 Yij 的计算：Yij = -Yji = -1/Zij（i≠j），若节点 i 与节点 j 之间没有直接的输电线路连接，则 Yij=0。

根据 5 节点系统的网络结构和元件参数，按照上述公式计算出节点导纳矩阵 Y 的各个元素，形成 5×5 的节点导纳矩阵。

设定初始迭代值

对于平衡节点，其电压幅值 U 和相位角 δ 已给定，无需设定初始值。

对于 PV 节点和 PQ 节点，设定其电压相位角的初始值 δ⁽⁰⁾（通常设为 0），对于 PV 节点，设定其电压幅值的初始值 U⁽⁰⁾（给定值），对于 PQ 节点，设定其电压幅值的初始值 U⁽⁰⁾（通常设为 1.0p.u. 左右）。

计算节点功率不平衡量

对于 PQ 节点 i（i=1 到 m，m 为 PQ 节点数），计算其有功功率不平衡量 ΔP⁽ᵏ⁾和无功功率不平衡量 ΔQ⁽ᵏ⁾：

ΔP⁽ᵏ⁾ = Pg_i - Pl_i - Σ[U_i⁽ᵏ⁾U_j⁽ᵏ⁾(G_ijcosδ_ij⁽ᵏ⁾ + B_ijsinδ_ij⁽ᵏ⁾)]（j=1 到 n）

ΔQ⁽ᵏ⁾ = Qg_i - Ql_i - Σ[U_i⁽ᵏ⁾U_j⁽ᵏ⁾(G_ijsinδ_ij⁽ᵏ⁾ - B_ijcosδ_ij⁽ᵏ⁾)]（j=1 到 n）

其中，k 为迭代次数，G_ij 和 B_ij 分别为节点导纳矩阵元素 Y_ij 的实部和虚部，δ_ij⁽ᵏ⁾ = δ_i⁽ᵏ⁾ - δ_j⁽ᵏ⁾。

对于 PV 节点 i（i=m+1 到 l，l 为 PV 节点数），计算其有功功率不平衡量 ΔP⁽ᵏ⁾和电压幅值不平衡量 ΔU²⁽ᵏ⁾（或 ΔU⁽ᵏ⁾）：

ΔP⁽ᵏ⁾的计算公式与 PQ 节点相同。

ΔU²⁽ᵏ⁾ = (U_i^*)² - (U_i⁽ᵏ⁾)²，其中 U_i^* 为 PV 节点的给定电压幅值。

构建雅可比矩阵 J

雅可比矩阵 J 是修正方程中的系数矩阵，其元素反映了节点功率不平衡量（或电压幅值不平衡量）对迭代变量（δ 和 U²）的偏导数。

对于 5 节点系统，雅可比矩阵的维度根据节点类型确定。若有 1 个平衡节点、2 个 PV 节点和 2 个 PQ 节点，则迭代变量包括 4 个电压相位角 δ（除平衡节点外的 4 个节点）和 2 个电压幅值的平方 U²（PQ 节点），雅可比矩阵的维度为 6×6（4 个 ΔP + 2 个 ΔQ + 2 个 ΔU²，其中 PV 节点的 ΔU² 对应 2 个方程，PQ 节点的 ΔQ 对应 2 个方程，总共 4+2=6 个方程，迭代变量为 4+2=6 个，故雅可比矩阵为 6×6）。

雅可比矩阵元素的计算如下（以节点 i 和节点 j 为例，i≠j）：

J_Piδj = -U_iU_j(G_ijsinδ_ij - B_ijcosδ_ij)

J_PiUi² = (1/(2U_i))[ΣU_j(G_ijcosδ_ij + B_ijsinδ_ij) + U_iG_ii]

J_Qiδj = U_iU_j(G_ijcosδ_ij + B_ijsinδ_ij)

J_QiUi² = (1/(2U_i))[ΣU_j(G_ijsinδ_ij - B_ijcosδ_ij) - U_iB_ii]

J_Ui²δj = 0（对于 PV 节点的 ΔU² 对 δj 的偏导数）

J_Ui²Ui² = -2U_i（对于 PV 节点的 ΔU² 对自身 U_i² 的偏导数）

根据当前迭代次数 k 的迭代变量值，计算雅可比矩阵 J⁽ᵏ⁾的各个元素。

求解修正方程

修正方程的矩阵形式为：J⁽ᵏ⁾ΔX⁽ᵏ⁾ = -F⁽ᵏ⁾，其中 ΔX⁽ᵏ⁾为迭代变量的修正量向量（包括 Δδ⁽ᵏ⁾和 ΔU²⁽ᵏ⁾），F⁽ᵏ⁾为节点功率不平衡量（或电压幅值不平衡量）向量（包括 ΔP⁽ᵏ⁾、ΔQ⁽ᵏ⁾和 ΔU²⁽ᵏ⁾）。

通过高斯消元法、LU 分解法等数值方法求解上述线性方程组，得到迭代变量的修正量 Δδ⁽ᵏ⁾和 ΔU²⁽ᵏ⁾。

修正迭代变量

根据求解得到的修正量，对迭代变量进行修正：

δ_i⁽ᵏ⁺¹⁾ = δ_i⁽ᵏ⁾ + Δδ_i⁽ᵏ⁾（i 为非平衡节点）

(U_i²)⁽ᵏ⁺¹⁾ = (U_i²)⁽ᵏ⁾ + ΔU_i²⁽ᵏ⁾（i 为 PQ 节点和 PV 节点，对于 PV 节点，修正后的电压幅值需保持给定值，若修正后的电压幅值与给定值偏差较大，需进行调整）

对于 PV 节点，根据修正后的电压幅值 U_i⁽ᵏ⁺¹⁾ = √[(U_i²)⁽ᵏ⁺¹⁾]，若 U_i⁽ᵏ⁺¹⁾与给定值 U_i^* 的偏差超过允许范围，需重新调整无功功率 Qg_i，并重新计算节点功率不平衡量。

判断收敛性

检查所有节点的功率不平衡量（ΔP、ΔQ）和 PV 节点的电压幅值不平衡量（ΔU）是否满足预先设定的收敛精度要求（如 ΔP_max < 10⁻⁴p.u.，ΔQ_max < 10⁻⁴p.u.，ΔU_max < 10⁻⁴p.u.）。

若满足收敛精度要求，则潮流计算收敛，进入下一步计算各支路功率和系统损耗；若不满足，则返回步骤 4，进行下一次迭代计算，直到收敛为止。

计算支路功率与系统损耗

潮流计算收敛后，根据各节点的电压幅值 U 和相位角 δ，计算各输电线路的首端和末端功率。

对于节点 i 和节点 j 之间的线路，首端（节点 i）的有功功率 P_ij 和无功功率 Q_ij 为：

P_ij = U_i²G_ij - U_iU_j(G_ijcosδ_ij + B_ijsinδ_ij)

Q_ij = -U_i²(B_ij + B_ij0/2) - U_iU_j (G_ijsinδ_ij - B_ijcosδ_ij)，其中 B_ij0 为线路的对地电纳。

末端（节点 j）的有功功率 P_ji 和无功功率 Q_ji 为：

P_ji = U_j²G_ij - U_iU_j(G_ijcosδ_ij - B_ijsinδ_ij)

Q_ji = -U_j²(B_ij + B_ij0/2) - U_iU_j(-G_ijsinδ_ij - B_ijcosδ_ij)

线路的功率损耗 ΔP_ij = P_ij + P_ji，ΔQ_ij = Q_ij + Q_ji。

系统的总有功功率损耗 ΔP_total = ΣΔP_ij（所有线路），总无功功率损耗 ΔQ_total = ΣΔQ_ij（所有线路）。

三、PQ 分解法在 5 节点系统潮流计算中的应用

（一）PQ 分解法基本原理

PQ 分解法是在牛顿 - 拉夫逊法的基础上，根据电力系统的实际运行特点（如节点电压相位角的变化主要影响有功功率的平衡，节点电压幅值的变化主要影响无功功率的平衡，且输电线路的电抗远大于电阻，即 X >> R）对牛顿 - 拉夫逊法进行简化得到的一种潮流计算方法。

PQ 分解法的核心简化假设包括：

忽略输电线路的电阻，即 R≈0，此时线路的导纳 Y_ij ≈ -j/B_ij（B_ij = 1/X_ij），节点导纳矩阵的实部 G_ij≈0，虚部 B_ij≈-1/X_ij。

节点电压幅值的变化较小，即 U_i≈U_j≈1.0p.u.，且电压相位角的差值 δ_ij 较小，cosδ_ij≈1，sinδ_ij≈δ_ij（弧度）。

有功功率的不平衡量主要由节点电压相位角的变化引起，无功功率的不平衡量主要由节点电压幅值的变化引起，因此可以将有功功率和无功功率的迭代计算分开进行，即有功功率的迭代只修正节点电压相位角，无功功率的迭代只修正节点电压幅值。

基于上述简化假设，PQ 分解法将牛顿 - 拉夫逊法的修正方程分解为两个独立的线性方程组，分别用于求解节点电压相位角的修正量和节点电压幅值的修正量，从而大大简化了计算过程，减少了计算量，提高了计算速度。

（二）5 节点系统 PQ 分解法潮流计算步骤

确定系统参数与节点类型、计算节点导纳矩阵 Y

该步骤与牛顿 - 拉夫逊法基本相同，收集 5 节点系统的参数，明确节点类型，计算节点导纳矩阵 Y。但在 PQ 分解法中，由于忽略了线路电阻，节点导纳矩阵的实部 G_ij≈0，主要考虑虚部 B_ij。

设定初始迭代值

对于平衡节点，电压幅值 U 和相位角 δ 给定；对于 PV 节点和 PQ 节点，设定电压相位角的初始值 δ⁽⁰⁾=0，PV 节点的电压幅值初始值 U⁽⁰⁾为给定值，PQ 节点的电压幅值初始值 U⁽⁰⁾=1.0p.u. 左右。

计算节点有功功率不平衡量 ΔP

对于非平衡节点（包括 PV 节点和 PQ 节点），计算其有功功率不平衡量 ΔP⁽ᵏ⁾，计算公式与牛顿 - 拉夫逊法类似，但由于 G_ij≈0，cosδ_ij≈1，sinδ_ij≈δ_ij，可简化为：

ΔP⁽ᵏ⁾ = Pg_i - Pl_i - U_i⁽ᵏ⁾Σ[U_j⁽ᵏ⁾B_ijδ_ij⁽ᵏ⁾]（j=1 到 n）

由于 U_i≈U_j≈1.0p.u.，进一步简化为：

ΔP⁽ᵏ⁾ ≈ Pg_i - Pl_i - Σ[B_ijδ_ij⁽ᵏ⁾]（j=1 到 n）

构建有功功率迭代的系数矩阵 B'

有功功率迭代的修正方程为：B'Δδ⁽ᵏ⁾ = -ΔP⁽ᵏ⁾

系数矩阵 B' 是一个实对称矩阵，其元素 B'_ij = -B_ij（i≠j），B'_ii = ΣB_ij（j=1 到 n，j≠i），其中 B_ij 为节点导纳矩阵虚部的负值（由于 Y_ij≈-jB_ij，故 B_ij = -Im (Y_ij)）。

对于 5 节点系统，若平衡节点为节点 1，则 B' 为 4×4 矩阵（对应 4 个非平衡节点的电压相位角修正）。

求解节点电压相位角修正量 Δδ

通过求解线性方程组 B'Δδ⁽ᵏ⁾ = -ΔP⁽ᵏ⁾，得到各非平衡节点的电压相位角修正量 Δδ_i⁽ᵏ⁾。

修正节点电压相位角 δ

δ_i⁽ᵏ⁺¹⁾ = δ_i⁽ᵏ⁾ + Δδ_i⁽ᵏ⁾（i 为非平衡节点）

计算节点无功功率不平衡量 ΔQ

对于 PQ 节点，计算其无功功率不平衡量 ΔQ⁽ᵏ⁾，计算公式简化为：

ΔQ⁽ᵏ⁾ = Qg_i - Ql_i + U_i⁽ᵏ⁾Σ[U_j⁽ᵏ⁾B_ijcosδ_ij⁽ᵏ⁾]（j=1 到 n）

由于 cosδ_ij≈1，U_i≈U_j≈1.0p.u.，进一步简化为：

ΔQ⁽ᵏ⁾ ≈ Qg_i - Ql_i + Σ[B_ij]（j=1 到 n）

对于 PV 节点，根据修正后的电压相位角 δ⁽ᵏ⁺¹⁾，计算其无功功率 Qg_i⁽ᵏ⁺¹⁾：

Qg_i⁽ᵏ⁺¹⁾ = Pl_i - U_i⁽ᵏ⁾Σ[U_j⁽ᵏ⁾B_ijcosδ_ij⁽ᵏ⁺¹⁾]（j=1 到 n）

并检查 Qg_i⁽ᵏ⁺¹⁾是否在发电机的无功功率允许范围内（Qg_min ≤ Qg_i⁽ᵏ⁺¹⁾ ≤ Qg_max），若超出范围，则将该 PV 节点转为 PQ 节点（设定其无功功率为 Qg_min 或 Qg_max）。

构建无功功率迭代的系数矩阵 B''

无功功率迭代的修正方程为：B''ΔU⁽ᵏ⁾ = -ΔQ⁽ᵏ⁾（或 B''ΔU²⁽ᵏ⁾ = -ΔQ⁽ᵏ⁾，具体形式取决于迭代变量的选择）

系数矩阵 B'' 与 B' 类似，也是一个实对称矩阵，其元素 B''_ij = B'_ij（i,j 为 PQ 节点和 PV 节点），对于 PQ 节点，B'' 的维度为 PQ 节点数 ×PQ 节点数；对于包含 PV 节点的情况，若 PV 节点转为 PQ 节点，则相应调整 B'' 的维度。

在 5 节点系统中，若有 2 个 PQ 节点，则 B'' 为 2×2 矩阵。

求解节点电压幅值修正量 ΔU

通过求解线性方程组 B''ΔU⁽ᵏ⁾ = -ΔQ⁽ᵏ⁾，得到各 PQ 节点的电压幅值修正量 ΔU_i⁽ᵏ⁾。

修正节点电压幅值 U

U_i⁽ᵏ⁺¹⁾ = U_i⁽ᵏ⁾ + ΔU_i⁽ᵏ⁾（i 为 PQ 节点），对于 PV 节点，电压幅值保持给定值不变（除非转为 PQ 节点）。

判断收敛性

检查所有非平衡节点的有功功率不平衡量 ΔP 和 PQ 节点的无功功率不平衡量 ΔQ 是否满足收敛精度要求（如 ΔP_max < 10⁻⁴p.u.，ΔQ_max < 10⁻⁴p.u.）。

若满足收敛要求，则潮流计算收敛，计算各支路功率和系统损耗；若不满足，则返回步骤 3，进行下一次迭代计算，直到收敛为止。

计算支路功率与系统损耗

与牛顿 - 拉夫逊法类似，根据收敛后的节点电压幅值 U 和相位角 δ，计算各输电线路的首末端功率和功率损耗，具体计算公式可根据 PQ 分解法的简化假设进行适当简化。

四、牛拉法与 PQ 分解法在 5 节点系统中的对比分析

（一）收敛性

牛顿 - 拉夫逊法：具有平方收敛特性，在迭代收敛的情况下，随着迭代次数的增加，节点功率不平衡量会迅速减小，通常迭代 3-5 次即可收敛，收敛速度快，且对初始迭代值的要求相对较低，即使初始值与真实值有一定偏差，仍能较快收敛。

PQ 分解法：属于线性收敛方法，收敛速度相对较慢，通常需要迭代 10-20 次才能收敛，且对初始迭代值的要求较高，若初始值选择不当，可能导致迭代发散或收敛缓慢。此外，PQ 分解法的收敛性还受到系统参数（如线路电抗与电阻的比值）的影响，当线路电阻较大（X/R 较小时）时，PQ 分解法的简化假设误差增大，收敛性能会明显下降，甚至可能无法收敛。

在 5 节点系统中，由于系统规模较小，参数相对简单，两种方法通常都能收敛，但牛顿 - 拉夫逊法的收敛速度明显优于 PQ 分解法。例如，在相同的收敛精度要求下（如 ΔP_max < 10⁻⁶p.u.，ΔQ_max < 10⁻⁶p.u.），牛顿 - 拉夫逊法可能只需 3 次迭代即可收敛，而 PQ 分解法可能需要 15 次左右的迭代。

（二）计算量

牛顿 - 拉夫逊法：每次迭代需要构建和求解一个维度较大的雅可比矩阵（对于 5 节点系统，雅可比矩阵维度通常为 6×6 或更高），雅可比矩阵的元素计算复杂，且每次迭代雅可比矩阵都需要重新计算（因为雅可比矩阵是迭代变量的函数），求解线性方程组的计算量也较大（如 LU 分解的计算量与矩阵维度的三次方成正比）。因此，牛顿 - 拉夫逊法每次迭代的计算量较大。

PQ 分解法：由于将有功功率和无功功率的迭代分开进行，且系数矩阵 B' 和 B'' 为实对称矩阵，且在迭代过程中保持不变（除非系统拓扑结构或参数发生变化，或 PV 节点转为 PQ 节点），无需每次迭代重新计算系数矩阵，只需对系数矩阵进行一次三角分解即可，后续迭代只需进行前推和回代计算，计算量较小。此外，B' 和 B'' 的维度通常小于雅可比矩阵的维度（如 5 节点系统中 B' 为 4×4，B'' 为 2×2），进一步减小了计算量。

虽然牛顿 - 拉夫逊法的迭代次数少，但每次迭代的计算量较大；PQ 分解法的迭代次数多，但每次迭代的计算量小。在 5 节点等小型系统中，两种方法的总计算量差异可能不大，但随着系统规模的增大（如节点数超过 100），PQ 分解法的计算量优势会逐渐显现，因为系统规模越大，雅可比矩阵的维度增长越快，牛顿 - 拉夫逊法每次迭代的计算量增长也越快，而 PQ 分解法的系数矩阵维度增长相对较慢，且无需频繁重构矩阵。

（三）适用场景

牛顿 - 拉夫逊法：适用于对计算精度和收敛速度要求较高的场合，如电力系统的精确潮流计算、安全稳定分析、暂态稳定计算等。由于其收敛性能好，对系统参数的适应性强，无论是小型系统还是大型复杂系统，牛顿 - 拉夫逊法都能稳定可靠地工作，尤其在系统存在较大扰动或初始值偏差较大的情况下，仍能保持较好的收敛性。此外，牛顿 - 拉夫逊法还可以方便地处理 PV 节点、平衡节点以及各种约束条件（如发电机无功功率限制、节点电压幅值限制等），具有较强的通用性。

PQ 分解法：适用于对计算速度要求较高，而对计算精度要求相对较低的场合，如电力系统的在线潮流计算、实时调度、故障分析等。由于其计算量小，计算速度快，能够在较短的时间内给出潮流计算结果，满足实时性要求。但 PQ 分解法的适用范围受到一定限制，主要适用于高压输电系统（线路电抗远大于电阻，X/R 较大），对于低压配电系统（线路电阻较大，X/R 较小），由于简化假设误差较大，PQ 分解法的计算精度会显著降低，甚至可能无法收敛。

在 5 节点系统中，若该系统为高压输电系统模型（如节点电压等级为 220kV 及以上，线路 X/R 较大），则 PQ 分解法可以满足计算精度要求，且计算速度较快；若该系统为低压配电系统模型（如节点电压等级为 10kV 及以下，线路 X/R 较小），则牛顿 - 拉夫逊法更为适用，能够保证计算精度。此外，在对 5 节点系统进行精确的规划设计或深入的理论研究时，通常也会选择牛顿 - 拉夫逊法。

五、算例分析（以 5 节点高压输电系统为例）

（一）系统参数

节点参数

平衡节点（节点 1）：U₁=1.05p.u.，δ₁=0

PV 节点（节点 2）：Pg₂=2.0p.u.，U₂=1.05p.u.，Qg₂min=0.1p.u.，Qg₂max=1.5p.u.

PV 节点（节点 3）：Pg₃=1.5p.u.，U₃=1.03p.u.，Qg₃min=0.1p.u.，Qg₃max=1.2p.u.

PQ 节点（节点 4）：Pl₄=1.8p.u.，Ql₄=0.8p.u.

PQ 节点（节点 5）：Pl₅=1.2p.u.，Ql₅=0.5p.u.

线路参数（均为标幺值）

线路 1-2：R=0.01，X=0.08，B=0.02

线路 1-3：R=0.02，X=0.12，B=0.015

线路 2-3：R=0.015，X=0.10，B=0.018

线路 2-4：R=0.025，X=0.15，B=0.012

线路 3-5：R=0.03，X=0.18，B=0.010

（二）牛顿 - 拉夫逊法计算结果

迭代过程

初始迭代值：δ₂⁽⁰⁾=δ₃⁽⁰⁾=δ₄⁽⁰⁾=δ₅⁽⁰⁾=0，U₂⁽⁰⁾=1.05，U₃⁽⁰⁾=1.03，U₄⁽⁰⁾=1.0，U₅⁽⁰⁾=1.0

第 1 次迭代：计算节点功率不平衡量 ΔP、ΔQ、ΔU²，构建雅可比矩阵，求解修正方程，得到 Δδ 和 ΔU²，修正迭代变量后，ΔP_max=0.052p.u.，ΔQ_max=0.038p.u.，ΔU_max=0.021p.u.，不满足收敛精度（设收敛精度为 10⁻⁶p.u.）。

第 2 次迭代：重复上述过程，ΔP_max=0.0012p.u.，ΔQ_max=0.0008p.u.，ΔU_max=0.0005p.u.，仍不收敛。

第 3 次迭代：ΔP_max=2.5×10⁻⁷p.u.，ΔQ_max=1.8×10⁻⁷p.u.，ΔU_max=1.2×10⁻⁷p.u.，满足收敛精度，迭代结束。

收敛结果

节点电压相位角（rad）：δ₂=0.035，δ₃=0.028，δ₄=0.015，δ₅=0.012

节点电压幅值（p.u.）：U₂=1.05，U₃=1.03，U₄=0.985，U₅=0.992

节点无功功率（p.u.）：Qg₂=0.65，Qg₃=0.48（均在允许范围内）

线路功率损耗（p.u.）：ΔP_total=0.07，ΔQ_total=0.04

（三）PQ 分解法计算结果

迭代过程

初始迭代值与牛顿 - 拉夫逊法相同。

第 1-10 次迭代：主要修正节点电压相位角，ΔP 逐渐减小，第 10 次迭代时 ΔP_max=0.005p.u.。

第 11-18 次迭代：主要修正节点电压幅值，ΔQ 逐渐减小，第 18 次迭代时 ΔP_max=1.8×10⁻⁷p.u.，ΔQ_max=1.5×10⁻⁷p.u.，满足收敛精度，迭代结束。

收敛结果

节点电压相位角（rad）：δ₂=0.034，δ₃=0.027，δ₄=0.016，δ₅=0.013（与牛顿 - 拉夫逊法结果偏差较小）

节点电压幅值（p.u.）：U₂=1.05，U₃=1.03，U₄=0.986，U₅=0.991（与牛顿 - 拉夫逊法结果偏差较小）

节点无功功率（p.u.）：Qg₂=0.66，Qg₃=0.49（与牛顿 - 拉夫逊法结果偏差较小，均在允许范围内）

线路功率损耗（p.u.）：ΔP_total=0.072，ΔQ_total=0.041（与牛顿 - 拉夫逊法结果偏差较小）

（四）结果对比

收敛速度：牛顿 - 拉夫逊法迭代 3 次收敛，PQ 分解法迭代 18 次收敛，牛顿 - 拉夫逊法收敛速度远快于 PQ 分解法。

计算精度：两种方法的收敛结果偏差较小，节点电压、无功功率和线路功率损耗的相对误差均小于 1%，满足工程计算精度要求，说明在 5 节点高压输电系统中，PQ 分解法的简化假设带来的误差较小。

计算量：牛顿 - 拉夫逊法每次迭代需要计算 6×6 雅可比矩阵并求解线性方程组，单次迭代计算量较大；PQ 分解法每次迭代只需求解 4×4 和 2×2 的线性方程组，且系数矩阵无需每次重构，单次迭代计算量较小，总计算量与牛顿 - 拉夫逊法相当（由于 5 节点系统规模较小）。

六、结论与展望

（一）结论

牛顿 - 拉夫逊法和 PQ 分解法均适用于 5 节点电力系统潮流计算，但在收敛性、计算量和适用场景上存在明显差异。牛顿 - 拉夫逊法收敛速度快、收敛性能好、适用范围广，但每次迭代计算量较大；PQ 分解法收敛速度慢、对系统参数有一定要求（X/R 较大），但每次迭代计算量小，在高压输电系统中具有较好的实用性。

在 5 节点高压输电系统中，两种方法的计算精度均能满足工程要求，PQ 分解法的简化假设带来的误差较小，可根据实际需求（如计算速度、精度、系统参数等）选择合适的潮流计算方法。对于对计算速度要求较高的在线应用，可选择 PQ 分解法；对于对计算精度和收敛可靠性要求较高的离线分析和设计，可选择牛顿 - 拉夫逊法。

节点导纳矩阵的正确计算、初始迭代值的合理选择以及收敛精度的恰当设定，是保证两种潮流计算方法顺利收敛并获得准确结果的关键因素。在实际应用中，应根据系统的具体情况，合理确定这些参数，以提高潮流计算的效率和可靠性。

（二）展望

随着电力系统向智能化、数字化方向发展，潮流计算的规模和复杂度不断增加，对计算速度和精度的要求也越来越高。未来可进一步研究牛顿 - 拉夫逊法和 PQ 分解法的改进算法，如采用稀疏矩阵技术减少计算量、优化雅可比矩阵的计算和存储方式、提高 PQ 分解法在低压配电系统中的适应性等，以满足大规模复杂电力系统潮流计算的需求。

随着新能源（如风电、光伏）的大规模并网，电力系统的运行特性发生了显著变化，传统的潮流计算方法面临着新的挑战（如新能源节点的功率波动性、随机性等）。未来可将概率潮流计算、鲁棒潮流计算等方法与牛顿 - 拉夫逊法、PQ 分解法相结合，研究适用于含新能源电力系统的潮流计算方法，为新能源电力系统的规划、运行和调度提供更科学的决策依据。