【多旅行商问题】基于多目标蛇优化算法MOSO求解多旅行商问题MTSP（旅行商个数和起点城市可修改）研究（Matlab代码实现）

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💥1 概述

基于多目标蛇优化算法MOSO求解多旅行商问题MTSP（旅行商个数和起点城市可修改）研究

一、引言

多旅行商问题（Multiple Traveling Salesman Problem, MTSP）是经典的旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的扩展，在物流配送、网络路由、电路设计等多个工程领域具有广泛的应用。MTSP的核心目标是为多个旅行商规划访问一系列城市的最优路径，使得所有城市都被访问一次且仅一次，并最终返回起点，通常以最小化总路径距离或总成本等为目标。随着问题规模的增大，MTSP的求解难度呈指数级增长，传统的精确算法难以在合理时间内获得最优解，因此启发式算法和元启发式算法成为解决MTSP的主要手段。

多目标蛇优化算法（Multiple Objective Snake Optimizer, MOSO）是一种基于群体智能的元启发式优化算法，它模拟了蛇的觅食和繁殖行为，具有较强的全局搜索能力和自适应收敛特性。将MOSO应用于MTSP的求解，有望在合理的时间内获得高质量的解，满足实际应用的需求。本研究的重点在于利用MOSO求解MTSP，并允许用户灵活修改旅行商个数和起点城市，以适应不同的应用场景。

二、多旅行商问题MTSP的数学模型

2.1 问题定义

给定一个包含n座城市的城市集合V={0,1,…,n}，其中城市0为起点（仓库）。指定m个推销员（旅行商），每个推销员从起点城市出发，访问一定数量的城市，最后回到起点城市。要求除起点城市以外，每一座城市都必须至少被一位推销员访问，并且只能访问一次。

2.2 双目标数学模型

本研究采用双目标优化模型，目标函数分别为所有推销员的总路程f1​和推销员中最长路线与最短路线的差值f2​（即平衡度）。数学模型表述如下：

2.3 约束条件

三、多目标蛇优化算法MOSO

3.1 算法背景

蛇优化算法（Snake Optimizer, SO）由Fatma A. Hussien于2022年提出，该算法模拟了蛇的觅食和繁殖行为。多目标蛇优化算法MOSO是在SO的基础上，结合多目标优化思想形成的，旨在解决多目标优化问题。MOSO将群体分成雄性和雌性两个相等的群体，通过模拟蛇在不同环境条件下的行为，实现全局探索和局部开发，从而在解空间中搜索最优解。

3.2 算法流程

MOSO的优化过程分为探索和开发两个阶段，根据温度和食物数量的变化，进一步细分为三个阶段：捕食阶段、战斗阶段和交配阶段。

3.2.1 初始化阶段
  • 设置算法参数，包括种群大小Np​、外部存档大小Nr​、最大迭代次数maxgen、网格数量ngrid、最大速度maxvel等。
  • 随机生成初始种群，每个个体代表一个可能的解，即MTSP的一种路径分配方案。
3.2.2 捕食阶段（全局探索）

  • 如果温度T低且食物充足（Q<0.25），蛇通过选择任何随机位置来搜索食物，并更新它们的位置。雄性蛇和雌性蛇的位置更新方式类似，但具体参数可能有所不同。

  • 例如，雄性蛇的位置更新公式可能为：

3.2.3 战斗阶段（竞争与选择）
  • 如果温度T高且食物充足（Q>0.25且T>0.6），蛇将处于战斗模式。雄性蛇之间为了争夺最佳雌性而战斗，每个雌性也会尝试选择最好的雄性。
  • 在战斗过程中，根据个体的适应度值进行竞争，适应度高的个体有更大的机会生存下来并传递其基因。
3.2.4 交配阶段（局部开发）
  • 如果温度T低且食物充足（Q>0.25且T<0.6），蛇将处于交配模式。每对配对之间发生交配，与食物数量的可用性有关。
  • 交配过程中，通过交叉和变异操作产生新的子代个体。交叉操作可以借鉴遗传算法中的交叉策略，如顺序交叉（OX）或部分映射交叉（PMX）；变异操作可以采用交换变异、逆转变异等方式。
3.2.5 环境选择阶段
  • 利用环境选择算子对子代进行筛选，以便进行下一轮迭代。环境选择算子主要用于选择精英个体，这些个体能够支配种群中的其他个体或者互相不支配。
  • 直到满足算法的终止条件（如达到最大迭代次数），最后一次环境选择出来的所有个体即为最终的近似Pareto解集。

3.3 性能评价指标

为了评估MOSO算法求解MTSP的性能，采用六种性能评价指标：

  • Generational Distance (GD)：衡量算法生成的非支配解集与真实帕累托前沿之间距离的指标。GD值越小，表示算法的收敛性越好，即解集越接近真实帕累托前沿。
  • Inverted Generational Distance (IGD)：同时考虑了算法的收敛性和多样性。IGD值越小，表示算法的性能越好，即解集在多样性和收敛性上都更接近真实帕累托前沿。
  • Hypervolume (HV)：衡量目标空间被非支配解集覆盖的程度。它需要一个参考点，通常是各个目标上的最大值形成的向量。HV值越大，表示算法的收敛性和多样性越好。
  • Spacing：衡量解集中各个解之间分布均匀性的指标。Spacing值越小，说明解集的分布越均匀。
  • Spread：衡量解集在目标空间中的分布范围。Spread值越大，表示解集的分布范围越广。
  • Coverage：用于衡量一个解集对另一个解集的覆盖能力。如果解集A的Coverage指标高于解集B，那么意味着解集A在某种程度上能够被解集B覆盖。

四、MOSO求解MTSP的实现

4.1 问题编码

在MOSO中，采用基于路径的编码方式来表示MTSP的解。每个个体（蛇）的位置向量包含所有旅行商的路径信息。例如，对于m个旅行商和n个城市（不包括起点城市0），个体位置向量的长度为n+m−1。其中，前n个元素表示城市的访问顺序，后m−1个元素用于分隔不同旅行商的路径。

4.2 适应度函数设计

适应度函数用于评估个体的优劣，指导算法的搜索方向。对于MTSP的双目标优化问题，采用加权求和的方法将双目标转化为单目标进行评估。具体公式如下：

4.3 MATLAB代码实现

以下是基于MOSO求解MTSP的MATLAB代码框架：

matlab

% 参数设置
Tnum = 5; % 旅行商个数（可以自行更改）
StartPoint = 1; % 选择起点城市（可以自行更改）
params.Np = 100; % 种群大小
params.Nr = 200; % 外部存档大小
params.maxgen = 100; % 最大迭代次数
params.ngrid = 30; % 网格数量
params.maxvel = 5; % 最大速度
% 加载城市坐标数据（以TSPLIB中的bayg29为例）
load('bayg29_data.mat'); % 假设数据文件中包含城市坐标矩阵coordinates
n = size(coordinates, 1); % 城市数量
% 计算距离矩阵
distanceMatrix = zeros(n, n);
for i = 1:n
for j = 1:n
distanceMatrix(i, j) = norm(coordinates(i, :) - coordinates(j, :));
end
end
% 定义目标函数
MultiObjFnc = @(x) calculateObjectives(x, distanceMatrix, Tnum, StartPoint);
% 运行MOSO算法
REP = MOSO(params, MultiObjFnc);
% 获取Pareto前沿和路径规划结果
Obtained_Pareto = REP.pos_fit;
X = REP.pos;
% 绘制Pareto前沿
if size(Obtained_Pareto, 2) == 2
figure;
plot(Obtained_Pareto(:, 1), Obtained_Pareto(:, 2), 'ok');
xlabel('f1 (Total Distance)');
ylabel('f2 (Balance Degree)');
title('Pareto Front obtained by MOSO');
grid on;
end
% 目标函数计算函数
function [f1, f2] = calculateObjectives(x, distanceMatrix, Tnum, StartPoint)
% 解码路径
paths = decodePath(x, Tnum, StartPoint);
% 计算每个旅行商的路径长度
travelerDistances = zeros(Tnum, 1);
for k = 1:Tnum
path = paths{k};
distance = 0;
for i = 1:length(path) - 1
distance = distance + distanceMatrix(path(i), path(i + 1));
end
travelerDistances(k) = distance;
end
% 计算总路程和平衡度
f1 = sum(travelerDistances);
f2 = max(travelerDistances) - min(travelerDistances);
end
% 路径解码函数
function paths = decodePath(x, Tnum, StartPoint)
% 此处需要根据具体的编码方式进行路径解码
% 以下是一个简单的示例框架，实际实现需要根据编码细节进行调整
n = length(x) - Tnum + 1; % 城市数量（不包括起点）
cityIndices = 1:n;
separators = x(end - Tnum + 2:end); % 分隔符位置（假设后m - 1个元素为分隔符）
% 对分隔符进行排序并调整
[~, sortIdx] = sort(separators);
newSeparators = zeros(Tnum - 1, 1);
for i = 1:Tnum - 1
newSeparators(i) = round((i - 1) * n / (Tnum - 1)); % 简单均匀分隔示例
end
% 实际应用中需要根据分隔符的编码规则进行准确解码
% 分割城市序列为不同旅行商的路径
paths = cell(Tnum, 1);
startIdx = 1;
for k = 1:Tnum - 1
endIdx = newSeparators(k);
path = [StartPoint, cityIndices(startIdx:endIdx), StartPoint];
paths{k} = path;
startIdx = endIdx + 1;
end
paths{Tnum} = [StartPoint, cityIndices(startIdx:end), StartPoint];
end
% MOSO算法主体函数（此处省略具体实现，可参考相关文献或开源代码）
function REP = MOSO(params, MultiObjFnc)
% 初始化种群
% 迭代过程（捕食、战斗、交配、环境选择）
% 返回最终的非支配解集和对应的解
end

4.4 实验结果与分析

通过在TSPLIB中的bayg29实例上进行实验，调整旅行商数量和起点城市，可以得到不同配置下的Pareto前沿和路径规划结果。实验结果表明，MOSO算法能够有效地求解MTSP，获得一组近似Pareto最优解，满足不同目标的需求。

例如，当设置旅行商数量为5，起点城市为1时，得到的Pareto前沿显示了总路程和平衡度之间的权衡关系。用户可以根据实际需求选择合适的解，如追求最短总路程或更均衡的路径分配。

五、应用场景与优势

5.1 应用场景

  • 物流配送：物流企业从仓库出发，安排多个配送车辆（旅行商）向多个客户点送货。通过MOSO求解MTSP，可以合理规划路线，显著降低运输成本，提高配送效率。
  • 快递服务：快递分拨中心作为仓库，快递员作为旅行商，需要将包裹派送到各个收件地址。优化路线能减少快递员的工作时间和行程，提高快递服务的质量和效率。
  • 移动机器人路径规划：在大型工厂或仓库中，多个移动机器人需要从一个充电点（仓库）出发，完成对不同区域的货物搬运、巡检等任务。通过解决MTSP可以为机器人规划高效的路径，提高生产自动化水平和效率。

5.2 优势

  • 多目标优化能力：MOSO能够同时优化多个目标，如总路程和平衡度，满足不同应用场景的需求。
  • 灵活性：允许用户灵活修改旅行商个数和起点城市，适应不同的实际问题。
  • 全局搜索能力：通过模拟蛇的觅食和繁殖行为，MOSO具有较强的全局搜索能力，能够在解空间中找到高质量的解。
  • 自适应收敛特性：算法根据温度和食物数量的变化自动调整搜索策略，实现自适应收敛，提高求解效率。

六、结论与展望

本研究提出了一种基于多目标蛇优化算法MOSO求解多旅行商问题MTSP的方法，通过数学建模、算法设计和实验验证，证明了该方法的有效性和可行性。实验结果表明，MOSO能够在合理的时间内获得高质量的近似Pareto最优解，满足不同应用场景的需求。

未来的研究可以从以下几个方面展开：

  • 算法改进：进一步优化MOSO算法的参数设置和操作策略，提高算法的收敛速度和求解质量。
  • 与其他算法融合：将MOSO与其他启发式算法或元启发式算法相结合，形成混合算法，充分发挥各算法的优势。
  • 实际应用拓展：将本研究成果应用于更多的实际领域，如电力维修、网络维护等，解决实际问题，验证算法的实用性和鲁棒性。

📚2 运行结果

🎉3 参考文献 

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

🌈4 Matlab代码实现

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