【数据处理】奇异值分解(SVD) 数据降噪的python实现

本文介绍了奇异值分解(SVD)的基本概念,包括特征值分解和奇异值分解的原理,并通过Python展示了如何利用SVD进行数据降噪。通过对一维信号数据的处理,展示如何确定保留的奇异值阶数,从而过滤噪声,实现数据的简化和压缩。

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【数据处理】奇异值分解(SVD) 数据降噪的python实现

一、特征值分解

(参考资料【1】)对称矩阵不同的特征值对应的特征向量两两正交,假设存在一个 m ∗ m m*m mm的满秩对称矩阵 A A A,其具有 m m m个不同的特征值分别为: λ i , i = 1 , ⋯   , m {\lambda _i},i = 1, \cdots ,m λi,i=1,,m,每个特征值对应的特征向量为: x i , i = 1 , ⋯   , m {x_i},i = 1, \cdots ,m xi,i=1,,m。存在如下关系:

A x i = λ i x i A{x_i} = {\lambda _i}{x_i} Axi=λixi

进而存在:

A U = U Λ AU = U\Lambda AU=UΛ
其中: U = [ x 1 , x 2 , ⋯   , x m ] U = \left[ { {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_m}} \right] U=[x1,x2,,xm] Λ = [ λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ m ] \Lambda = \left[ {\begin{matrix} { {\lambda _1}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{ {\lambda _m}} \end{matrix}} \right] Λ=

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