数论----高斯消元

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学了一天的高斯消元，又退了两天，才接着补坑，唉~~自己为什么这么不争气~~

主要的学习高斯消元的来源还是论文---何江舟的《高斯消元解线性方程组》

注意几点：

1.equ和var分别代表方程数和未知数

2.在代码中注意k和col的实时变化，k循环结束后表示消元后的最后一个行，col循环后的为第var-1列（0~var）

3.注意无穷解的代码段

4.temp=a[i][var];
for(j=0; j<var; j++) {
if(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j];
}
x[free_index]=temp/a[i][free_index];

这代码段刚开始看不懂，但是其实就是手算的过程，画一下就应该能够明白，例如a*x+b*y=c，则求x=（c-b*y）/a；

5.注意浮点数的时候的sgn函数，有误差所以要小心

参考链接：

何江舟-高斯消元法解线性方程组

[数论] 高斯消元（整型和浮点型）

高斯消元法(Gauss Elimination) 分析 & 题解 & 模板——czyuan原创

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高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵化为，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。

首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)

1. 把方程组转换成增广矩阵。

2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。

3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。

① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。

② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。

③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。

以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。

整型高斯消元模板：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn =50;
int equ,var;         //有equ个方程，var个变元
int a[maxn][maxn] ;  //增广矩阵
int x[maxn];         //解集
bool free_x[maxn];   //标记是否是不确定的变元，初始化为true,确定为0 

void Debug(void) {
	int i,j;
	for(i=0; i<equ; i++) {
		for(j=0; j<var+1; j++) {
			cout<<a[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	cout<<endl;
}

inline int gcd(int a,int b) {
	if(!b) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

inline int lcm(int a,int b) {
	return a/gcd(a,b)*b;
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var) {
	int i,j,k;
	int max_r;     // 当前这列绝对值最大的行.
	int col;       //当前处理的列
	int ta,tb;
	int LCM,temp;
	int free_x_num;
	int free_index;

	for(int i=0; i<=var; i++) {
		x[i]=0;           //初始化解集 
		free_x[i]=true;
	}
    //转换为阶梯阵.
	col=0;        // 当前处理的列
	
	for(k=0; k<equ&&col<var; k++,col++) {
		max_r=k;
		// 枚举当前处理的行.
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
		for(i=k+1; i<equ; i++) {
			if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
		}
		// 与第k行交换.
		if(max_r!=k) {
			for(j=k; j<var+1; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
		}
		
		// 如果该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
		if(a[k][col]==0) {
			k--;
			continue;
		}
		// 枚举要删去的行.
		for(i=k+1; i<equ; i++) {
			if(a[i][col]!=0) {
				LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
				ta=LCM/abs(a[i][col]);
				tb=LCM/abs(a[k][col]);
				if(a[i][col]*a[k][col]<0) tb=-tb;  //异号的情况是相加
				for(j=col; j<var+1; j++) {
					a[i][j]=a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
				}
			}
		}
	}

	Debug();

    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
	for(i=k; i<equ; i++) {
		// 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
		if(a[i][col]!=0) return -1;
	}
	
	// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
	if(k<var) {
		
		// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
		for(i=k-1; i>=0; i--) {
			// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.

			free_x_num=0;// 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
			for(j=0; j<var; j++) {
				if(a[i][j]!=0&&free_x[j])   free_x_num++,free_index=j;
			}
			if(free_x_num>1) continue;    // 无法求解出确定的变元.
			//说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
			temp=a[i][var];
			for(j=0; j<var; j++) {
				if(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j];
			}
			x[free_index]=temp/a[i][free_index];    // 求出该变元.
			free_x[free_index]=0;      // 该变元是确定的.
		}
		return var-k;        // 自由变元有var - k个.
	}
	
	// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
	for(i=var-1; i>=0; i--) {
		temp=a[i][var];
		for(j=i+1; j<var; j++) {
			if(a[i][j]!=0) temp-=a[i][j]*x[j];
		}
		if(temp%a[i][i]!=0) return -2;       // 说明有浮点数解，但无整数解.
		x[i]=temp/a[i][i];
	}
	return 0;
}

int main() {

#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	int i,j;
	while(scanf("%d%d",&equ,&var)!=EOF) {
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(i=0; i<equ; i++) {
			for(j=0; j<var+1; j++) {
				scanf("%d",&a[i][j]);
			}
		}
		
		Debug();
		
		int free_num=Gauss(equ,var);
		if(free_num==-1) cout<<"无解"<<endl;
		if(free_num==-2) cout<<"由浮点数解，无整数解"<<endl;
		else if(free_num>0) {
			cout<<"无穷多解！自由变元个数为 "<<free_num<<endl;
			for(int i=0; i<var; i++) {
				if(free_x[i])  cout<<"x "<<(i+1)<<" 是不确定的"<<endl;
				else cout<<"x"<<(i+1)<<" : "<<x[i]<<endl;
			}
		} else {
			for(i=0; i<var; i++) {
				cout<<"x"<<(i+1)<<" : "<<x[i]<<endl;
			}
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

浮点数高斯消元模板：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=10005;
const double eps=1e-12;
double a[maxn][maxn];
int equ,var;     //equ个方程,var个变量 
double x[maxn];   //解集 
bool free_x[maxn];
int n;

void Debug(void) {
	int i,j;
	for(i=0; i<equ; i++) {
		for(j=0; j<var+1; j++) {
			cout<<a[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	cout<<endl;
}

//判断浮点数是否在误差范围内看作等于0 
int sgn(double x)
{
	return (x>eps)-(x<-eps);
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数) 
int Gauss(int equ,int var)
{
	int i,j,k;
	int max_r;   // 当前这列绝对值最大的行.  
	int col;     // 当前处理的列.
	double temp;
	int free_x_num;
	int free_index;
	 // 转换为阶梯阵.  
	col=0;    // 当前处理的列. 
	memset(free_x,true,sizeof(free_x));
	for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
	{
		max_r=k;
		for(i=k+1;i<equ;i++)
		{
			if(sgn(fabs(a[i][col])-fabs(a[max_r][col]))>0)
		         max_r=i;
 		}
 		if(max_r!=k)
 		{
 			// 与第k行交换.  
 			for(j=k;j<var+1;j++)
 			   swap(a[k][j],a[max_r][j]);
		}
		if(sgn(a[k][col])==0)
		{
			// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.  
			k--;continue;
		}
		for(i=k+1;i<equ;i++)
		{
			// 枚举要删去的行.  
			if(sgn(a[i][col])!=0)
			{
				temp=a[i][col]/a[k][col];
				for(j=col;j<var+1;j++)
				{
					a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*temp;
				}
			}
		}
	}
	
	Debug();
	
	for(i=k;i<equ;i++)
	{
		if(sgn(a[i][col])!=0)
		return -1;
	}
	if(k<var)
	{
		for(i=k-1;i>=0;i--)
		{
			free_x_num=0;
			for(j=0;j<var;j++)
			{
				if(sgn(a[i][j])!=0&&free_x[j])
				   free_x_num++,free_index=j;
			}
			if(free_x_num>1) continue;
			temp=a[i][var];
			for(j=0;j<var;j++)
			{
				if(sgn(a[i][j])!=0&&j!=free_index)
				    temp-=a[i][j]*x[j];
			}
			x[free_index]=temp/a[i][free_index];
			free_x[free_index]=0;
		}
		return var-k;
	}
	for(i=var-1;i>=0;i--)
	{
		temp=a[i][var];
		for(j=i+1;j<var;j++)
		{
			if(sgn(a[i][j])!=0)
			  temp-=a[i][j]*x[j];
		}
		x[i]=temp/a[i][i];
	}
	return 0;
}
int main() {

#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	int i,j;
	while(scanf("%d%d",&equ,&var)!=EOF) {
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(i=0; i<equ; i++) {
			for(j=0; j<var+1; j++) {
				scanf("%lf",&a[i][j]);
			}
		}
		
		Debug();
		
		int free_num=Gauss(equ,var);
		if(free_num==-1) cout<<"无解"<<endl;
		else if(free_num>0) {
			cout<<"无穷多解！自由变元个数为 "<<free_num<<endl;
			for(int i=0; i<var; i++) {
				if(free_x[i])  cout<<"x "<<(i+1)<<" 是不确定的"<<endl;
				else cout<<"x"<<(i+1)<<" : "<<x[i]<<endl;
			}
		} else {
			for(i=0; i<var; i++) {
				cout<<"x"<<(i+1)<<" : "<<x[i]<<endl;
			}
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}