「线性代数」chapter1线性代数中的线性方程组

总论，线性方程组是线性代数的核心。
1.1和1.2节介绍了求解线性方程组的系统方法。
1.3和1.4指出线性方程组等价与一个向量方程与矩阵方程

1.1 线性方程组

线性方程组和矩阵的相关概念

方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集
两个线性方程组称为等价的，如果它们有相同的解集

线性方程组的解有以下三种情况：
1. 无解
2. 有唯一解
3. 有无穷多解

我们称一个线性方程组是相容的，如果它有一个解或无穷多个解;称它 不相容的，如果它无解。

矩阵记号：我们用矩阵来表示一个线性方程组的主要信息

系数矩阵
增广矩阵：即系数矩阵加上方程组的常数列

矩阵的维数：即矩阵所包含的行数和列数。一个m×n矩阵是以一个有m行n列的矩阵。

线性方程组的解法

思路：将方程组用一个更容易解的等价方程组代替

行初等变换：
1. （倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数的和
2. （对换变换）把两行对换
3. （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个非零数

称两个矩阵是行等价的，若其中一个矩阵可以经一系列行初等变换称为另一个矩阵

行变换是可逆的

若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。

存在与唯一性问题
对于线性方程组，我们要考虑两个问题：
1. 方程组是否相容，即它是否至少有一个解
2. 若它有解，它是否只有一个解，即解是否唯一？

1.2 行化简与阶梯形矩阵

概念

矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列;
非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素

一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形），若它有以下三个性质：
1. 每一非零行在每一零行之上；
2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面；
3. 某一行先导元素所在列下方元素都是零；
若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）
4.每一非零行的先导元素是1；
5.每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。

矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素的位置。主元列是A的含有主元位置的列。

对应于主元列的变量称为基本变量，其他变量称为自由变量

行化简算法：
向前步骤
1. 由最左的非零列开始，这是一个主元列，主元位置在该列顶端。
2. 在主元列中选取一个非零元作为主元。若有必要的话，对换两行使这个元素移到主元位置上。
3. 用倍加行变换将主元下面的元素变成0。
4. 暂时不管包括主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行要处理为止
5. 由最右面的主元开始，把每个主元上方的各元素变成0。若某个主元不是1，用倍乘变换将它变成1。（向后步骤）

定理

定理一： 简化阶梯形矩阵的唯一性

 每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵 

定理二：存在与唯一性定理

 线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列，就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如：
 [0...0 b]  b != 0
 的行，若线性方程组相容，它的解集可能有两种情形：（1）当没有自由变量时，有唯一解;
 （2）若至少有一个自由变量，有无穷多个解。

1.3 向量方程

我们用向量表示一组数
仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量

所有两个元素的向量的集记为 $R^2$，R 表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。

我们称 $R^2$中向量是实数的有序对

若n是正整数，$R^n$表示所有n个实数数列（或有序n元组）的集合。通常写成n×1列矩阵的形式
向量方程
$x_{1}\textbf a_{1} + x_2\textbf a_2 + ... +x_n\textbf a_n = \textbf b$ （1）
和增广矩阵为
$[\textbf a_1 \quad \textbf a_2 \quad ... \textbf a_n \quad \textbf b ]$
的线性方程组有相同的解。当$\textbf b$可以表示为$\textbf a_1\textbf a_2...\textbf a_n$的线性组合，当且仅当对应于（1）的方程组有解。

若$\textbf v_1,\textbf v_2,...\textbf v_p$是$R^n$中的向量，则$\textbf v_1,\textbf v_2,...\textbf v_p$的所有线性组合所成的集合用记号Span{$\textbf v_1,\textbf v_2,...\textbf v_p$}表示，称为由$\textbf v_1,\textbf v_2,...\textbf v_p$所生成（或张成）的$R^n$的子集，也就是说，
Span{$\textbf v_1,\textbf v_2,...\textbf v_p$}是所有形如
$c_1\textbf v_1+c_2\textbf v_2+...c_p\textbf v_p$的向量的集合，其中$c_1,c_2,..c_p$为标量。
要判断向量$\textbf b$是否属于Span{$\textbf v_1,\textbf v_2,...\textbf v_p$}，就是判断向量方程
$x_{1}\textbf v_{1} + x_2\textbf v_2 + ... +x_p\textbf v_p = \textbf b$
是否有解，或等价地，判断增广矩阵为$[\textbf v_1 \quad \textbf v_2 \quad ... \textbf v_n \quad \textbf b ]$的线性方程组是否有解。

Span{$\textbf v_1,\textbf v_2,...\textbf v_p$}包含$\textbf v_1$的全部倍数，因$c\textbf v_1 = c\textbf v_1 + 0\textbf v_2 + ... + 0\textbf v_p$，特别地，它一定包含零向量

1.4 矩阵方程$A\textbf x= \textbf b$

线性代数中的一个基本思想是把向量的线性组合看作矩阵与向量的积

若A是m×n矩阵，它的各列为$\textbf a_1,...,\textbf a_n$。若$\textbf x$是$R^n$中向量，则A与$\textbf x$的积，记为A$\textbf x$，就是A的各列以$\textbf x$中对应元素为权的线性组合
注意A$\textbf x$仅当A的列数等于$\textbf x$中元素个数时才有定义。

有形式A$\textbf x$ = $\textbf b$，我们称这样的方程为矩阵方程

定理三

若A是m×n矩阵，它的各列为$\textbf a_1,\textbf a_2,...,\textbf a_n$，而$\textbf b$属于$R^m$，则矩阵方程
A$\textbf x$ = $\textbf b$ (1)
与向量方程
$x_{1}\textbf a_{1} + x_2\textbf a_2 + ... +x_n\textbf a_n = \textbf b$ （2）
有相同的解集。它又与增广矩阵为
$[\textbf a_1 \quad \textbf a_2 \quad ... \textbf a_n \quad \textbf b ]$ （3）
的线性方程组有相同的解集。

方程A$\textbf x$ = $\textbf b$ 有解，当且仅当$\textbf b$是A的各列的线性组合

定理四

设A是m×n矩阵，则下列命题是逻辑上等价的，也就是说，对某个A，它们都成立或者都不成立
1. 对$R^m$中每个b，方程A$\textbf x$ = $\textbf b$ 都有解
2. $R^m$中的每个b都是A的列的一个线性组合
3. A的各列生成$R^m$
4. A在每一行都有一个主元位置

A是系数矩阵，而非增广矩阵

定理五

若A是m×n矩阵，$\textbf u$和$\textbf v$是$R^n$中向量，c是标量，则
1. A（$\textbf u + \textbf v)=A\textbf u + A\textbf v$
2. A (c$\textbf u) = c(A\textbf u)$

1.5 线性方程组的解集

线性方程组称为齐次的，若它可以写成A$\textbf x = \textbf 0$的形式，其中A是m×n矩阵而$\textbf 0$是$\textbf R^m$中的零向量。这样的方程组至少有一个解，即$\textbf x = \textbf 0$（$\textbf R^m$中的零向量），这个解称为它的平凡解。

齐次方程组A$\textbf x = \textbf 0$有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量

定理六

设方程A$\textbf x = \textbf b$对某个$\textbf b$是相容的，p是一个特解，则A$\textbf x = \textbf b$的解集是所有形如$\textbf w = \textbf p + \textbf v_h$的向量的集，其中$\textbf v_h$是齐次方程A$\textbf x = \textbf 0$的任意一个解

1.7 线性无关

定义：$R^n$中一组向量{$\textbf v_1,...,\textbf v_p$}称为线性无关的，若向量方程
$x_1\textbf v_1+x_2\textbf v_2+...x_p\textbf v_p= \textbf 0$
仅有平凡解。向量组（集）{$\textbf v_1,...,\textbf v_p$}称为线性相关的，若存在不全为零的权$c_1,..,c_p$，使
$c_1\textbf v_1+c_2\textbf v_2+...c_p\textbf v_p = \textbf 0$

分割线，我要去划船啦_______________________________________________________

(我回来啦！)
矩阵A的各列线性无关，当且仅当方程A$\textbf x = 0$仅有平凡解

两个向量的集合{$\textbf v_1, \textbf v_2$}线性相关，当且仅当其中一个向量是另一个向量的倍数。这个集合线性无关，当且仅当其中任一个向量都不是另一个向量的倍数。

定理七（线性相关集的特征）

两个或更多个向量的集合S = {$\textbf v_1, ...,\textbf v_p$}相性相关，当且仅当S中至少有一个向量是其他向量的线性组合，事实上，若S线性相关，且$v_1$ !=0，则某个$\textbf v_j$（j>1）是它前面几个向量$\textbf v_1, ...,\textbf v_{j-1}$的线性组合。

定理八

若一个向量组的向量个数超过每个向量元素个数，那么这个向量组线性相关。就是说，$\textbf R^n$中任意向量组{$\textbf v_1,...,\textbf v_p$ }，当p > n时线性相关。

定理九

若向量组S = {$\textbf v_1, ..., \textbf v_p$}包含零向量，则它线性相关。

1.8 线性变换介绍

（那时候我不太能理解这里。。。）
矩阵方程A$\textbf x = \textbf b$与线性代数中其它问题有关
把矩阵A当作一种“对象” ，它通过乘法“作用于向量$\textbf x$”，产生的新向量为A$\textbf x$。
由$\textbf R^n$到$\textbf R^m$的一个变换T是一个规则，它把$\textbf R^n$中每个向量$\textbf x$对应以$\textbf R^m$中的一个向量T($\textbf x$)。集$\textbf R^n$称为T的定义域，而$\textbf R^m$称为T的余定义域。符号T:$\textbf R_n$ ->$\textbf R_m$说明T的定义域是$\textbf R_n$ 而余定义域是$\textbf R_m$。对于$\textbf R_n$ 中向量$\textbf x$，$\textbf R_m$中向量T($\textbf x$) 称为$\textbf x$（在T 作用下）的像，所有像T($\textbf x$)的集合称为T的值域。