洛谷5094 & poj 1990 [USACO2004OPEN]MooFest 题解（树状数组）

原题链接：
洛谷
poj

题意简述

给定$n(<=2e4)$，和$n$个奶牛。每个奶牛有两个值，$v(每个<=2e4)$,$x_i(每个<=2e4)$。求对于所有的奶牛$(a,b)(1<=a<b<=n)$，$max(v_a,v_b)\ast (|x_a-x_b|)$的值的和。

思路

这题看到要求的式子里有一个$max$，一个绝对值，第一眼看到肯定是没有思路的。但是我们要想想，最大值怎么拆？绝对值怎么拆？

最大值是好做的，我们只要把$n$个奶牛按$v$值排序就好做了。枚举$i$，考虑$[1,i-1]$之间的答案，由于是排好序的，前面的$v$值肯定不会超过$v_i$，那么取$max$就一定是$v_i$了。

那么绝对值呢？通常我们要求两个数相减的绝对值的时候，要讨论两个数哪个大。还是枚举$i$，讨论：

1. $x_i$是较大的数。
   此时，对于前面所有的$j$满足：$x_j<=x_i$，要求和
   $(x_i-x_j)$，乘以$v_i$，就是对答案的贡献了。也就是$\sum _{j=1}^{i-1}[x_j<=x_i](x_i-x_j)$。然后我们发现$x_i$是不变的数，珂以提出来。但是系数呢？就是$[1,i-1]$中满足$x_j<=x_i$的个数。设其为$C$(xk)。原式化为：
   $C\ast x_i-\sum _{j=1}^{i-1}[x_j<=x_i]x_j$。那么此时我们发现，还要求一个东西，就是$\sum _{j=1}^{i-1}[x_j<=x_i]x_j$。设其为$S$。（$C$和$S$的求法过会再说，先讨论）

2. $x_i$是较小的数
   此时，对于前面所有的$j$满足：$x_j>x_i$（为了避免和1.重复，这里不取等），求和：
   $(x_j-x_i)$，乘以$v_i$，就是贡献。也就是$\sum _{j=1}^{i-1}[x_j>x_i](x_j-x_i)$。照例还是提$x_i$，但是系数呢？不会又要再设一个数出来吧。。。
   别担心，完全不用。前$i-1$个数中，要么就是$x_j>x_i$，要么就是$x_j<=x_i$。我们知道了$x_j<=x_i$的个数，拿总数$i-1$去减掉它，就是满足$x_j>x_i$的个数了，即$(i-1-C)$个。
   类似的思路，式子变为：$\sum _{j=1}^{i-1}[x_j>x_i]x_j-(i-1-C)\ast x$。现在我们要求$\sum _{j=1}^{i-1}[x_j>x_i]x_j$，如何求呢？类似得到$i-1-C$的思路，其实我们只要用前$i-1$个数的前缀和，减去$S$，就是这里的这个东西了。我们一边枚举$i$，一边记录当前$(1,i-1)$的和。设这个和为$all$，那么此时的式子就是：$(all-S)-(i-1-C)\ast x$。

现在差不多知道式子了。我们很清楚$all$的求法，就是边枚举边记录。问题来了：怎么求$C$和$S$？

维护一个权值树状数组$Tc,Ts$，$Tc[x]$表示：满足$a_i=x$的数有多少个。$Ts[x]$表示$a_i=x$的数的$x$值和。然后$C$就是$Tc[1]+Tc[2]...+Tc[x_i]$，$S$就是$Ts[1]+Ts[2]...+Ts[x_i]$。（由于是$<=$，珂以取到$x_i$。）我们发现是求前缀和的工作，珂以用树状数组快速求出。

然后要讲的就是次序问题。首先我们要先作询问操作，求出$S,C$的值，统计答案，然后再记录$Tc,Ts$和$all$的值。尤其是$all$，一定要写在后面，这样才能保证我们前面再调用的时候还只有前$i-1$个数的和。

代码:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define int long long
    #define N 200100
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    struct node
    {
        int v,x;
    }a[N];
    bool cmp_v(node a,node b){return a.v<b.v;}
    int n;
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {
        R1(n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            int v,x;
            R1(v),R1(x);
            a[i]=(node){v,x};
        }
    }

    class BIT
    {
        public:
            int tree[N];
            int len;
            void BuildTree(int _len)
            {
                len=_len;
                FK(tree);
            }
            void Add(int pos,int val)
            {
                for(int i=pos;i<=len;i+=(i&(-i)))
                {
                    tree[i]+=val;
                }
            }
            int Query(int pos)
            {
                int ans=0;
                for(int i=pos;i>0;i-=(i&(-i)))
                {
                    ans+=tree[i];
                }
                return ans;
            }
    }Tc,Ts;
    void Soviet()
    {
        Tc.BuildTree(200000);
        Ts.BuildTree(200000);
        sort(a+1,a+n+1,cmp_v);
        int ans=0;
        int all=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            int x=a[i].x,v=a[i].v;
            int lcnt=Tc.Query(x),lsum=Ts.Query(x);
            ans+=(x*lcnt-lsum)*a[i].v;
            ans+=((all-lsum)-(i-1-lcnt)*x)*a[i].v;
            Tc.Add(x,1);
            Ts.Add(x,x);
            all+=a[i].x;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

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