hdu 4602(推公式、矩阵快速幂)

本文介绍了解决HDU4602问题的方法,该问题是关于将一个数n分解为若干整数之和,并统计所有可能组合中1到n各数字出现的次数。通过观察组合规律并运用矩阵快速幂算法,文章给出了一个高效的解决方案。

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/*
    hdu 4602
    题目大意是
    将一个数n写成多个整数相加的形式
    问所有式子里面1、2、3……n有多少个


    1-5的所有组合可以写成一下形式
         1   2   3   4   5


    1    1   2   5   12  28


    2        1   2   5   12


    3            1   2   5


    4                1   2


    5                    1


    我们横着看每一行可以找到规律
    f(x)=2*f(x-1)+2^(x-3)(x>=3)


    竖着看可以发现,和横着逆时针旋转90度是一样的
    也就是说对于n==5而言
    第一列与第五行是相等的,第二列与第四行是相等的
    我们可以找到规律,若第i行和第j列相等
    则i+j==n+1
    现在题目给了第k行,则我们可以先求出是第几列
    然后套用上面找到的公式


    注意特判:
    1.行数最大值一定与列数相等,若给定的行数k>n则不存在
    2。求出来的列数是1或者2时不符合上述规律


    之后矩阵快速幂即可
*/
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <string.h>
#define pi acos(-1.0)
#define ll long long
#define MAX 3
#define mod 1000000007
using namespace std;


struct matrix
{
    ll m[MAX][MAX];
};
matrix matrixmul(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    for(int i=1; i<=2; i++)
        for(int j=1; j<=2; j++)
        {
            c.m[i][j]=0;
            for(int k=1; k<=2; k++)
                c.m[i][j]+=(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
            c.m[i][j]%=mod;
        }
    return c;
}
matrix quickpow(matrix m,int n)
{
    matrix b;
    memset(b.m,0,sizeof(b.m));
    for(int i = 1; i <= 2; i++)
        b.m[i][i] = 1;
    while(n>=1)
    {
        if(n&1)
            b=matrixmul(b,m);
        n=n>>1;
        m=matrixmul(m,m);
    }
    return b;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        matrix m;
        m.m[1][1]=2;
        m.m[1][2]=1;
        m.m[2][1]=0;
        m.m[2][2]=2;
        int n,k;
        cin>>n>>k;
        if(k>n)
        {
            cout<<0<<endl;
            continue;
        }
        int cnt=n-k+1;
        if(cnt==1)
        {
            cout<<1<<endl;
            continue;
        }
        if(cnt==2)
        {
            cout<<2<<endl;
            continue;
        }
        matrix res=quickpow(m,cnt-2);
        ll ans=((res.m[1][1]*2)%mod+res.m[1][2])%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}
### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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