【代数】2007全国联赛填空第二题题解（韦达定理，分数裂项）

最新推荐文章于 2021-07-23 14:09:07 发布

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本文深入解析了一道数学竞赛题目，通过应用韦达定理求解特定方程的根之和与根之积，最终简化计算过程并得到精确答案。

题目描述

设 $a_n,b_n$ 表示方程 $x^2-(n+2)-2n^2=0$ 的两个根。求 $∑i=220071(ai−2)(bi−2)\sum\limits_{i=2}^{2007}\frac{1}{(a_i-2)(b_i-2)}$

思路

首先。。。上韦达？显然，我们有两个根，如果要求关系，那就只能韦达了。

而且， $a_i-2)(b_i-2)=a_ib_i-2(a_b+b_i)+4$ ，我们只要知道 $a_ib_i$ 和 $a_i+b_i$ 即珂，而韦达定理正是求这个的。

韦达定理：方程 $ax^2+bx+c$ 的两个解和为 $−ba-\frac{b}{a}$ ，积为 $ca\frac{c}{a}$ （根据求根公式暴力带入即珂证明。。。）

运用这个韦达定理，我们发现：
$a_i+b_i=n+2$
$a_i*b_i=-2n^2$
即 $a_i-2)(b_i-2)=a_ib_i-2(a_b+b_i)+4=-2n^2-2(n+2)+4=-2n^2-2n=-2n(n+1)$

我们发现:一个形如 $1n+1\frac{1}{n+1}$ 形式的分数，珂以写成 $1n−1n+1\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 。所以，我们提一个 $−12-\frac{1}{2}$ 出来，然后就珂以那么做了。

过程：

根据韦达定理，
$a_i+b_i=n+2$
$a_i*b_i=-2n^2$
带入，得：
$a_i-2)(b_i-2)$
$a_ib_i-2(a_b+b_i)+4$
$2n^2-2(n+2)+4$
$2n^2-2n=-2n(n+1)$
带入原式，得原式
$=∑i=220071(ai−2)(bi−2)=\sum\limits_{i=2}^{2007}\frac{1}{(a_i-2)(b_i-2)}$
$=∑i=220071−2i(i+1)=\sum\limits_{i=2}^{2007}\frac{1}{-2i(i+1)}$
$=−12∑i=220071i(i+1)=-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=2}^{2007}\frac{1}{i(i+1)}$
$=−12∑i=220071i−1i+1=-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=2}^{2007}\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}$
$=−12(∑i=220071i−∑i=320081i)=-\frac{1}{2}(\sum\limits_{i=2}^{2007}\frac{1}{i}-\sum\limits_{i=3}^{2008}\frac{1}{i})$
此时发现两个 $∑\sum$ 中间重叠的部分一正一负的抵消了，只剩下 $12−12008\frac{1}{2}-\frac{1}{2008}$
原式
$=−12(12−12008)=-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2008})$
$=−12∗10032008=-\frac{1}{2}*\frac{1003}{2008}$
$=−10034016=-\frac{1003}{4016}$