【几何】2006全国联赛 填空第7题 题解(三角形相似,辅助线)

博客介绍了如何解决一个正方形内接于正三角形的问题,通过相似三角形的性质和构造辅助线,利用勾股定理和海伦公式推导出边长关系,最终求解特定数值。

题目描述

如图是一个正方形 D E F G DEFG DEFG内接在一个正三角形 A B C ABC ABC里面。正方形的面积是 a b − c a\sqrt{b}-c ab c,三角形的面积是 1 1 1 a , b , c a,b,c a,b,c均为整数,且没有一个质数的平方整除 b b b(偷偷说一句:即 b b b在根号下最简)。求 a − c b \frac{a-c}{b} bac的值。

思路

这个题。。。不是放在相似一章我都不知道能用相似做。。。

首先 D E F G DEFG DEFG是正方形,那么显然 D G / / E F DG//EF DG//EF,即 △ A D G ∼ △ A B C \triangle ADG\sim \triangle ABC ADGABC。(其中 ∼ \sim 是相似,打的有点丑)

那么 D G : B C = A G : A C = A D : A B DG:BC=AG:AC=AD:AB DG:BC=AG:AC=AD:AB

D G : B C DG:BC DG:BC好像还有点用,毕竟都是边长。由于这两个边长都有点关系,所以我们设正方形的边长是 x x x,三角形的边长是 y y y。这样 D G DG DG B C BC BC就珂以用 x , y x,y x,y来表示了。但是相比之下, A G : A C AG:AC AG:AC A D : A B AD:AB AD:AB就显得没什么用,不能用 x , y x,y x,y表示。

确实不能。那么,就此放弃么?考虑到相似三角形还有一个特点:对应高,中线,平分线成比例。接着,我们发现:高好像有点关系。无论如何,先把高作出来再说。设 A M ⊥ B C AM\perp BC AMBC M M M。(如下图)

然后,我们会发现 A M AM AM是珂以用 x , y x,y x,y表示的(勾股定理求得)。然后这样列个方程,解出 x x x,就珂以求 a , b , c a,b,c a,b,c的值,自然也就能求出原式了。

过程:
D E F G DEFG DEFG边长为 x x x, A B C ABC ABC边长为 y y y。作 M M M使 A M ⊥ B C AM\perp BC AMBC M M M,交 D G DG DG N N N

∵ D E F G \because DEFG DEFG为正方形
∴ D G / / E F \therefore DG//EF DG//EF
∴ △ A D G ∼ △ A B C \therefore \triangle ADG \sim\triangle ABC ADGABC
∴ x : y = A N : A M \therefore x:y=AN:AM x:y=AN:AM
根据勾股定理, A M = A C 2 − M C 2 AM=\sqrt{AC^2-MC^2} AM=AC2MC2
= y 2 − y 2 4 =\sqrt{y^2-\frac{y^2}{4}} =y24y2
= 3 y 2 4 =\sqrt{\frac{3y^2}{4}} =43y2
= 3 y 2 =\frac{\sqrt{3}y}{2} =23 y
A N = A M − x AN=AM-x AN=AMx
x : y = 3 y 2 − x : 3 y 2 x:y=\frac{\sqrt{3}y}{2}-x:\frac{\sqrt{3}y}{2} x:y=23 yx:23 y
3 x y 2 = 3 y 2 2 − x y \frac{\sqrt{3}xy}{2}=\frac{\sqrt{3}y^2}{2}-xy 23 xy=23 y2xy
3 x 2 = 3 y 2 − x \frac{\sqrt{3}x}{2}=\frac{\sqrt{3}y}{2}-x 23 x=23 yx
x ( 3 2 + 1 ) = 3 y 2 x(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)=\frac{\sqrt{3}y}{2} x(23 +1)=23 y
x ( 3 + 2 ) = 3 y x({\sqrt{3}}+2)=\sqrt{3}y x(3 +2)=3 y
x = 3 y 3 + 2 = 3 ( 3 − 2 ) y 3 − 2 2 ( 有 理 化 ) = ( 2 − 3 ) 3 y x=\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-2)y}{3-2^2}(有理化)=(2-\sqrt{3})\sqrt{3}y x=3 +23 y=3223 (3 2)y()=(23 )3 y
平方,得:
x 2 = 3 y 2 ( 7 − 4 3 ) x^2=3y^2(7-4\sqrt{3}) x2=3y2(743 )
∵ S △ A B C = 1 \because S_{\triangle ABC}=1 SABC=1
根据海伦公式,
3 2 y ( 1 2 y ) 3 = 3 16 y 2 = 1 \sqrt{\frac{3}{2}y(\frac{1}{2}y)^3}=\sqrt{\frac{3}{16}}y^2=1 23y(21y)3 =163 y2=1
y 2 = 16 3 y^2=\sqrt{\frac{16}{3}} y2=316
带入 x 2 = 3 y 2 ( 7 − 4 3 ) x^2=3y^2(7-4\sqrt{3}) x2=3y2(743 )的式子,得:
x 2 = 3 16 3 ( 7 − 4 3 ) = 28 3 − 48 x^2=3\sqrt{\frac{16}{3}}(7-4\sqrt{3})=28\sqrt{3}-48 x2=3316 (743 )=283 48(此处跳过一些计算)
此时 b = 3 b=3 b=3满足条件,原式 = 28 − 48 3 = − 20 3 =\frac{28-48}{3}=-\frac{20}{3} =32848=320

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