【几何】2006全国联赛 填空第7题 题解（三角形相似，辅助线）

题目描述

如图是一个正方形$DEFG$内接在一个正三角形$ABC$里面。正方形的面积是$a\sqrt{b}-c$，三角形的面积是$1$，$a,b,c$均为整数，且没有一个质数的平方整除$b$（偷偷说一句：即$b$在根号下最简）。求$\frac{a-c}{b}$的值。

思路

这个题。。。不是放在相似一章我都不知道能用相似做。。。

首先$DEFG$是正方形，那么显然$DG//EF$，即$△ADG\sim △ABC$。（其中$\sim$是相似，打的有点丑）

那么$DG:BC=AG:AC=AD:AB$

$DG:BC$好像还有点用，毕竟都是边长。由于这两个边长都有点关系，所以我们设正方形的边长是$x$，三角形的边长是$y$。这样$DG$和$BC$就珂以用$x,y$来表示了。但是相比之下，$AG:AC$和$AD:AB$就显得没什么用，不能用$x,y$表示。

确实不能。那么，就此放弃么？考虑到相似三角形还有一个特点：对应高，中线，平分线成比例。接着，我们发现：高好像有点关系。无论如何，先把高作出来再说。设$AM\perp BC$于$M$。（如下图）

然后，我们会发现$AM$是珂以用$x,y$表示的（勾股定理求得）。然后这样列个方程，解出$x$，就珂以求$a,b,c$的值，自然也就能求出原式了。

过程：
设$DEFG$边长为$x$,$ABC$边长为$y$。作$M$使$AM\perp BC$于$M$，交$DG$与$N$。

$\because DEFG$为正方形
$\therefore DG//EF$
$\therefore △ADG\sim △ABC$
$\therefore x:y=AN:AM$
根据勾股定理，$AM=\sqrt{A{C}^2-M{C}^2}$
$=\sqrt{y^2-\frac{y^2}{4}}$
$=\sqrt{\frac{3y^2}{4}}$
$=\frac{\sqrt{3}y}{2}$
$AN=AM-x$
则$x:y=\frac{\sqrt{3}y}{2}-x:\frac{\sqrt{3}y}{2}$
$\frac{\sqrt{3}xy}{2}=\frac{\sqrt{3}{y}^2}{2}-xy$
$\frac{\sqrt{3}x}{2}=\frac{\sqrt{3}y}{2}-x$
$x(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)=\frac{\sqrt{3}y}{2}$
$x(\sqrt{3}+2)=\sqrt{3}y$
$x=\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-2)y}{3-2^2}(有理化)=(2-\sqrt{3})\sqrt{3}y$
平方，得:
$x^2=3y^2(7-4\sqrt{3})$
$\because S_{△ABC}=1$
根据海伦公式,
$\sqrt{\frac{3}{2}y(\frac{1}{2}y{)}^3}=\sqrt{\frac{3}{16}}{y}^2=1$
$y^2=\sqrt{\frac{16}{3}}$
带入$x^2=3y^2(7-4\sqrt{3})$的式子，得：
$x^2=3\sqrt{\frac{16}{3}}(7-4\sqrt{3})=28\sqrt{3}-48$（此处跳过一些计算）
此时$b=3$满足条件，原式$=\frac{28-48}{3}=-\frac{20}{3}$