Codeforces 185A 题解

最新推荐文章于 2021-12-17 20:01:14 发布

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本文探讨了一种使用递归与矩阵快速幂算法解决特定几何级数问题的方法，通过分析三角形的变化规律，推导出了计算任意状态下朝上三角形数量的公式，并提供了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意简述

一个三角形如图所示变化。初始状态(第0个状态)是一个大三角形，然后每一个三角形都会被4等分，分完就是下一个状态。求第 $n$ ( $n$ 的范围是 $10^{18}$ !!!)个状态中有多少个尖角朝上的三角形。对 $10^9+7$ 取模。

数据

输入
2
输出
10

思路

设第 $i$ 个状态中有 $a [i]$ 个朝上的， $b [i]$ 个朝下的。

首先每次4等分，三角形总数应该是不断 $×4\times 4$ 的。所以 $a[i]+b[i]=4^i$

我们发现，上一个状态中如果有一个朝下的，4等分之后会变成3个朝下的+1个朝上的。如果有一个朝上的，4等分之后会变成3个朝上的+1个朝下的。所以，我们珂以得到：

$a[i]=3a[i-1]+b[i-1]\\ b[i]=3b[i-1]+a[i-1]\\$

这个式子有什么规律呢。。。
好像没有。
我们会想，如果知道 $a [i] + b [i]$ ，那么只要知道 $a [i] - b [i]$ 就珂以直接求出 $a [i]$ 和 $b [i]$ 了。
那么我们减减试试吧。。。
$a [i] - b [i] = 3 (a [i - 1] - b [i - 1]) + (b [i - 1] - a [i - 1]) = 2 (a [i - 1] - b [i - 1])$
显然，当 $i = 1$ 时， $a [i] = 1, b [i] = 0$
设 $f (x) = a [x] - b [x]$ ，那么由上面的式子得
$f(1)=1\\ f(x)=2f(x-1)$
易得 $f(x)=2^{x}$ 。
故 $a[i]-b[i]=2^x$
所以， $a[i]=a[i]+b[i]+a[i]−b[i]2=4n−2n2=22n−1+2n−1a[i]=\frac{a[i]+b[i]+a[i]-b[i]}{2}=\frac{4^n-2^n}{2}=2^{2n-1}+2^{n-1}$ 。
打快速幂就珂以了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 1000000007
using namespace std;

int p2(int p,int m)//快速求2的幂
{
    int a=2;
    int r=1;
    while(p)
    {
        if (p&1) r=r*a%m;
        a=a*a%m,p>>=1;
    }
    return r;
}
int n;
void Solve()
{
    if (n==0)//特判这个!!!
    {
        puts("1");
        return;
    }
    printf("%I64d\n",(p2(2*n-1,mod)+p2(n-1,mod))%mod);
}

main()
{
    scanf("%I64d",&n);
    Solve();
    return 0;
}