Codeforces 1029D 题解

题意简述

给定$n$个数和常数$k$，问$n$个数中有多少个$i,j(i!=j)$满足$a_i$和$a_j$拼在(如$12$和$34$拼在一起就是$1234$)一起是$k$的倍数。

数据

输入：
6 11
45 1 10 12 11 7
输出：
7

输入：
4 2
2 78 4 10
输出：
12

输入：
5 2
3 7 19 3 3
输出：
0

思路

先考虑如何将$x$,$y$接在一起。

暴力法是先转字符串，接在一起之后在转回int。如果是Python则会很容易实现，C++写死你。。。

这显然不行。所以我们考虑能不能把$x$先乘很多$10$，留足位置加上$y$。设$len$为y的位数，则表示为$10^{len}x+y$。

如果这是$k$的倍数，则应满足$10^{len}\%k+y\%k=0或k$。、

那么，我们就珂以考虑预处理，$mp[i][j]$表示$a$中留出来长度为$i$的空位，余数为$j$的个数。这个用$map$记录即可。

那么我们在遍历的时候，一定有$mp[len][(k-a[i]\%k)\%k]$个数珂以在后面接上$a[i]$后是$k$的倍数。但是别忘了，$a[i]$和$a[i]$自己是不能接的，特判一下，如果满足自己接了自己，就把答案减掉。

如何判？只要暴力模拟自己接自己就行了，看看余数是不是$0$。这个过程是$log$级的。

所以总时间复杂度就是$nlog(a[i])$，能过。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
map<int,int>mp[20];

int n,k,a[10010000];
void Input()
{
    scanf("%I64d%I64d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%I64d",&a[i]);
        int x=a[i];
        for(int j=1;j<=10;j++)
        {
            x=x*10%k;
            mp[j][x]++;//不断乘10，预处理好所有长度时的余数
        }

        putchar('\n');
    }
}

int len(int x)//暴力求len，O(logx)
{
    int s=0;
    while(x)
    {
        ++s,x/=10;
    }
    return s;
}
void Solve()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l=len(a[i]);
        ans+=mp[l][(k-a[i]%k)%k];//记录答案
        
        int x=1;//x=10^len
        for(int j=1;j<=l;j++)
        {
            x=x*10%k;
        }
        if ((a[i]*x%k+a[i]%k)%k==0) ans--;//暴力接，看看能不能满足
    }
    printf("%I64d\n",ans);
}

main()
{
    Input();
    Solve();
    return 0;
}