bzoj 4962 简单的字符串 题解

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题意简述

给你一个长度为 $n$ 的数组 $a$，问你有多少个区间，满足：

1. 长度为偶数
2. 前一半和后一半循环同构

$n\le 5000,a_i\le 5000$

思路

两个串 $a,b$ 循环同构 ，那么一定可以把 $a$ 分成两个串 $u,v$ 接起来，然后把 $b$ 表示成 $v,u$ 的形式。

就比如 $a=\text{"abcde"},b=\text{"cdeab"}$，那么 $a=\text{"ab"+"cde"},b=\text{"cde"+"ab"}$。

然后现在这两个串相邻了，也就是有一段连续的 $uv|vu$ 的形式。考虑枚举中间这个划分线，然后计算两边有多少满足条件的。这也许能用哈希水过，但是我们要想一个正经办法(*^▽*)

一般我们遇到这样的“分块回文” 的问题，都是怎么做的呢⊙(・◇・)？

联想一下 codeforces 932G 这个题，我们可以把前面一半的 $uv$ 反过来，然后一个隔一个的插入到后半边的 $vu$ 里面去。这样插入完就会变成两个长度为偶数的回文串拼在一起啦 (/≧▽≦/)

关于它为啥会变成这样

先考虑一个串的情况。现在有一个 $u$，假设它由三个字符 $a,b,c$ 构成。我们把它反过来，然后一个隔一个的插入，变成：

$cabbac$

新插入的用红色表示，原来就有的用黑色表示。然后我们发现它变成了一个回文串！

容易归纳证明，无论它长度多少，这样子做总会变成一个回文串。

然后考虑两个串 $u,v$ 拼一块的情况。我们把 $u+v$ 反过来，一个隔一个的插入到 $v+u$ 中，会变成什么呢？

设 $s^{\prime }$ 是 $s$ 反过来的串。然后显然 $(u+v{)}^{\prime }=v^{\prime }+u^{\prime }$。我们把它插入到 $v+u$ 中之后，前面 $|v|$ 个串会先变成一个长度为 $2|v|$ 的回文串，后面还有 $|u|$ 个串，会变成长度为 $2|u|$ 的回文串。于是总体就变成了一个长度为 $2|v|+2|u|$ 的两个偶数长度回文串。

举个例子，$u=\text{"ab"},v=\text{"cd"}$，这样插入完之后变成 $\text{d}\text{c}\text{c}\text{d}\text{b}\text{a}\text{a}\text{b}$。 它等于 $\text{"dccd"}+\text{"baab"}$。

（你们可能不知道这公式有多难打，就为了举个形象的例子… 唉o(╥﹏╥)o）

然后我们只需要用 Manacher 统计一下有多少个这样的回文串即可（～￣▽￣～）

设 $pre[i]$ 表示从 $i$ 往前最多能跳多少长度，使得跳过的部分是回文串。然后 $f[i]$ 是回文中心。

用 $last$ 记录上一个回文前缀的位置。当前位置在 $i$ ，如果 $[last,i]$ 是个回文串，或者 $[i-pre[i]+1,i]$ 是个回文串，那么当前的 $i$ 就是合法的~☆，答案 ++。

那么如何判断 $[l,r]$ 是不是回文串呢⊙(・◇・)？设 $mid=(l+r)/2$，看看是否满足 $f[mid]\ge (r-l+1)/2$ 即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 14444
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    int I()
    {
        int x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        return (x=(f==1)?x:-x);
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args; va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) {int* x=va_arg(args,int*);(*x)=I();}
        va_end(args);
    }
 
    int n; 
    int a[N];
    void Input()
    {
        n=I();
        F(i,1,n) a[i]=I();
    }
 
    int s[N];
    int f[N],pre[N];
    int calc(int p)
    {
        int l=p,r=p+1;
        int cnt=0;
        while(l>=1 and r<=n) s[++cnt]=a[l],s[++cnt]=a[r],--l,++r;
 
        F(i,0,cnt+1) f[i]=pre[i]=0;
        int id=1,Max=1;
        F(i,1,cnt) 
        {
            f[i]=min(max(Max-i,0),f[id+(id-i)]);
            while(i+f[i]+1<=n and i-f[i]>0 and s[i+f[i]+1]==s[i-f[i]]) ++f[i]; 
            if (i+f[i]>=Max) Max=i+f[i],id=i;
            pre[i+f[i]]=max(pre[i+f[i]],f[i]);
        }
        D(i,cnt,1) pre[i]=max(pre[i],pre[i+1]-1);
        Ds(i,cnt,1,i-=2) pre[i]*=2;
 
        int ans=0,last=0;
        Fs(i,2,cnt,i+=2) 
        {
            if (f[i/2]==i/2) last=i;
            if (f[(i+last)/2]>=(i-last)/2 or f[(i-pre[i])/2]>=(i-pre[i])/2) ++ans;
        }
        return ans;
    }
    void Soviet()
    {
        int ans=0;
        F(i,1,n-1) ans+=calc(i);
        printf("%d\n",ans);
    }
 
    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}