17、具有正方形/对角线网格图案的 1 × n 地图的平折性研究

具有正方形/对角线网格图案的 1 × n 地图的平折性研究

1. 引言

给定一张带有折痕图案和山 - 谷分配的纸，判断它是否能平折是折纸平折性研究中最基本的问题。尽管局部平折性的充要条件已被精确定义，但局部可平折的图案在组装过程中可能因纸张各部分的碰撞而无法全局平折。对于最一般的情况，该问题被证明是强 NP 难的。即使对折痕图案的分配或纸张形状加以限制，这个问题似乎仍无法在多项式时间内解决。

地图折叠问题是平折性研究中一个有吸引力的问题。原始的地图折叠问题中，纸张形状为矩形，可划分为 m × n 的规则正方形网格，且每个非边界网格边必须折成山折或谷折。由于找到该问题的通用解决方案过于困难，因此它被分解为一系列子问题。

一些子问题及其转换的著名结果如下：
- Arkin 等人表明，对于只有垂直折痕的一般 1 × n 地图，通过应用一维可折性，其平折状态可在 O(n) 时间内计算得出，过程中定义了两种局部操作：卷曲和末端折叠。
- Demaine 等人指出，对于 m × n 地图，如果该问题能通过一系列简单折叠简化为一维问题，那么 NP 问题可转化为 P 问题。
- 对于 2 × n 地图，Morgan 的算法基于“射线图结构”及其三个约束条件，可在 O(n⁹) 时间内解决折叠问题，该方法使用了向隐藏树问题的归约。

此外，原始问题的一些相关研究问题还包括确定给定层线性顺序的有效性、识别不可展开的山 - 谷图案类别、计算有效山 - 谷分配的数量等。对于更复杂的地图形状和折痕变化也有相关研究成果，例如正交多边形的平折性问题被证明是 NP 完全的。

带有水平、垂直和对角线折痕的地图被定义为具有正方形/对角线网格图案的地图