41、网格填充曲线的可转换性及相关图论问题探讨

网格填充曲线的可转换性及相关图论问题探讨

在图论和计算机科学领域，网格填充曲线（Grid Filling Curves，GFC）以及递归循环图、m - 立方体的双哈密顿分解问题是非常有趣的研究方向。本文将深入探讨这些问题，从基础概念到具体的转换方法，为大家揭示其中的奥秘。

1. 双哈密顿分解问题

在图论中，递归循环图和 m - 立方体的双哈密顿分解是一个待解决的问题。已知递归循环图 G(8, 4) 和 3 - 立方体 Q3 都不具有双哈密顿分解，因为每个顶点数是 4 的倍数的 3 - 正则图都不具有双哈密顿分解。这里提出了两个开放性问题：
- 问题 7(a) ：当 m ≥ 4 时，递归循环图 G(2m, 4) 是否具有双哈密顿分解？
- 问题 7(b) ：当 m ≥ 4 时，m - 立方体 Qm 是否具有双哈密顿分解？

2. 网格填充曲线的基本概念

考虑平面上由 n² 个网格点 {1, …, n} × {1, …, n} 构成的正方形网格图 Gn，其中每对单位距离的点由一条边段连接。网格填充曲线（GFC）是 Gn 中两个角顶点 (1, 1) 和 (n, n) 之间的哈密顿路径。通过奇偶性论证可知，只有当 n 为奇数时，这样的哈密顿路径才存在，因此在后续讨论中我们假设 n 为奇数。在这个假设下，使用标准的蛇形顺序遍历就可以轻松构造出一个 GFC。

3. 随机 GFC 的生成动机

我们对生成随机 GFC 感兴趣，这主要是因为 GFC 在许多实际问题中有应用。例如，在数字半色调技术中，需要将具有多个亮度级别的图像转换为由黑白