18、1×n 地图与 (k, p)-平面性的折叠与平面性研究

1×n 地图与 (k, p)-平面性的折叠与平面性研究

在图形处理和折叠问题的研究中，1×n 地图的折叠特性以及 (k, p)-平面性的相关问题是重要的研究方向。下面将详细介绍这两方面的研究内容。

1×n 地图的折叠特性

对于仅具有正方形/对角线网格图案（无特定山 - 谷分配）的 1×n 地图，有以下重要结论：
- 定理 3 ：仅具有正方形/对角线网格图案的 1×n 地图总是可以平折，并且可以在 O(n) 时间内达到其平折状态。
- 证明思路 ：
1. 初始折叠 ：先将地图折叠到一个初始平折状态，此时会添加一些原本不存在的折痕。根据定理 1，对于包含所有折痕和山 - 谷分配的 1×n 地图，可以达到其平折状态。对于给定的折痕图案，添加一些折痕以确保每个由折痕包围的区域是一个三角形（网格的 1/4 面积）。为了简化，将纸条折叠成平折状态，按照从左到右的顺序将折痕记为 ci（i∈N +），对于每个网格内的四条折痕，按逆时针顺序标记，集合 {ci | i = 10m, 10m + 4, 10m + 6, m∈N +} 中的折痕标记为山折痕，其他折痕标记为谷折痕。关键是在最终的平折状态下，每个网格中的四个三角形要相邻。
2. 展开折痕 ：
- 展开垂直折痕 ：按从左到右的顺序展开临时添加的垂直折痕（地图的长边放在横向）。对于每个要展开的折痕 ci，执行以下过程：
- 步骤 1：展开 ci。
- 步骤 2：更改每个垂直折痕 cj（j > i）和对角